Um empréstimo no valor de
350.000,00$ foi concedido a uma empresa nas seguintes condições:
- Taxa de juros: 7,5% ao trimestre;
- Amortização: pagamentos trimestrais;
- Prazo de amortização: 1 ano.
Pede-se elaborar a planilha financeira para amortizações pelos sistemas SAC, SPC e SAM.
Passo 1
O enunciado dá um empréstimo com as seguintes informações (vou listar bem claro o que pediram):
- Valor do empréstimo (principal):
. - Taxa de juros por período (trimestre):
, isto é, por trimestre. - Amortizações pagas trimestralmente.
- Prazo:
ano = trimestres, ou seja .
O que se pede: elaborar a planilha financeira (cronograma) de amortizações nos três sistemas indicados: SAC, SPC e SAM. A planilha comum tem, para cada trimestre, o saldo inicial, a amortização (parte do principal), os juros do período, a prestação (pagamento) e o saldo final.
Passo 2
Antes de começar, vou deixar explícito o que eu entendo por cada sistema (há variações de nomenclatura; escolhi as definições mais usadas em cursos de exatas):
- SAC: Sistema de Amortização Constante — a amortização do principal é constante em cada período.
- SPC: Sistema de Prestação Constante — também conhecido como sistema Price; aqui a prestação (parcela)
é igual em todos os períodos (anuidade). - SAM: Sistema Americano — paga-se só os juros a cada período; o principal é pago integralmente no último período.
Escolhi essas definições porque são as mais comuns em exercícios deste tipo. Se o seu professor usar outra nomenclatura, me avise depois, mas com essas definicões consigo montar as planilhas.
Passo 3
Vamos começar pelo SAC (mais simples). Conceito e fórmulas:
- No SAC a amortização por período é constante e vale
Aqui
e
, portanto
- Os juros do período são calculados sobre o saldo devedor no início do período:
- A prestação é a soma da amortização mais os juros:
Agora aplicamos isso passo a passo para cada trimestre.
Passo 4
Cálculo detalhado SAC (cada valor com duas casas decimais):
Período 0 (início): saldo inicial
.
- Trimestre 1:
- Saldo inicial:
. - Amortização:
(constante). - Juros:
. - Prestação:
. - Saldo final:
.
- Trimestre 2:
- Saldo inicial:
. - Amortização:
. - Juros:
. - Prestação:
. - Saldo final:
.
- Trimestre 3:
- Saldo inicial:
. - Amortização:
. - Juros:
. - Prestação:
. - Saldo final:
.
- Trimestre 4:
- Saldo inicial:
. - Amortização:
. - Juros:
. - Prestação:
. - Saldo final:
.
Resumo numérico SAC pronto. (Total de juros pagos = soma dos juros =
.)
Passo 5
Agora o SPC (prestação constante, anuidade/Price). Vou explicar a fórmula e depois calcular passo a passo.
Conceito e fórmula:
- No SPC a prestação
é constante e é dada pela fórmula da anuidade:
onde
é o principal (
),
e
.
Explicando as variáveis:
Explicando as variáveis:
-
= valor do empréstimo, -
= taxa por período, -
= número de períodos, -
= prestação que se repete em cada período.
Primeiro calculemos
. Podemos usar a expansão binomial ou multiplicações:
(essa é a potência exata até a precisão usada). Logo
Agora o denominador da fração:
Aplicando a fórmula:
(Arredondei a prestação para centavos; por causa de arredondamentos, na última prestação pode ser necessário ajustar alguns centavos para zerar exatamente o saldo.)
Passo 6
Agora o desdobramento período a período no SPC (usarei a prestação
constante para os três primeiros pagamentos e ajustarei o último para zerar o saldo):
Período 0: saldo inicial
.
- Trimestre 1:
- Juros:
. - Prestação:
. - Amortização (principal pago):
. - Saldo final:
.
- Trimestre 2:
- Juros:
(arredondado a dois decimais). - Prestação:
. - Amortização:
. - Saldo final:
.
- Trimestre 3:
- Juros:
. - Prestação:
. - Amortização:
. - Saldo final:
.
- Trimestre 4 (ajuste final):
- Juros:
(arredondado). - Se mantivéssemos
, a amortização seria , deixando saldo final negativo de por arredondamento. Para zerar exatamente o saldo, ajustamos a última prestação para
(ou seja, pagamos
no último período; os três primeiros mantêm
. Esse ajuste é apenas por causa do arredondamento centesimal — matematicamente, com infinitas casas, todas seriam iguais.)
Observação didática: na prova você pode declarar
com duas casas e, se necessário, explicar que o último pagamento foi ajustado por centavos para zerar o saldo.
Passo 7
Finalmente o SAM (Sistema Americano). Conceito:
- Nos períodos intermediários paga-se apenas os juros sobre o principal;
- No último período paga-se os juros do período mais a amortização total do principal.
Cálculo:
- Juros em cada período (enquanto o principal não foi amortizado) são sempre
- Nos três primeiros trimestres paga-se apenas
. - No quarto trimestre paga-se juros
mais amortização do principal , totalizando . - Amortizações:
nos períodos 1 a 3; no período 4. - Após o pagamento final o saldo fica
.
Passo 8
Resumo final (planilhas) — vou apresentar as três planilhas com as colunas: período, saldo inicial, amortização, juros, prestação, saldo final. Esses são os valores que você pode copiar diretamente na sua folha / planilha.
Resposta
SAC:
Período 0: saldo inicial
Período 1: amortização ; juros
; prestação
; saldo final
Período 2: amortização ; juros
; prestação
; saldo final
Período 3: amortização ; juros
; prestação
; saldo final
Período 4: amortização ; juros
; prestação
; saldo final
Período 0: saldo inicial
Período 1: amortização
Período 2: amortização
Período 3: amortização
Período 4: amortização
SPC (Price) — prestação constante aproximada
(última parcela ajustada por centavos):
Período 0: saldo inicial
Período 1: amortização ; juros
; prestação
; saldo final
Período 2: amortização ; juros
; prestação
; saldo final
Período 3: amortização ; juros
; prestação
; saldo final
Período 4: amortização ; juros
; prestação ajustada
; saldo final
Período 0: saldo inicial
Período 1: amortização
Período 2: amortização
Período 3: amortização
Período 4: amortização
SAM (Sistema Americano):
Período 0: saldo inicial
Período 1: amortização ; juros
; prestação
; saldo final
Período 2: amortização ; juros
; prestação
; saldo final
Período 3: amortização ; juros
; prestação
; saldo final
Período 4: amortização ; juros
; prestação
; saldo final
Período 0: saldo inicial
Período 1: amortização
Período 2: amortização
Período 3: amortização
Período 4: amortização