Um empréstimo no valor de \ 350.000,00$ foi concedido a uma empresa nas seguintes condições:
  • Taxa de juros: 7,5% ao trimestre;
  • Amortização: pagamentos trimestrais;
  • Prazo de amortização: 1 ano.
Pede-se elaborar a planilha financeira para amortizações pelos sistemas SAC, SPC e SAM.

Passo 1

O enunciado dá um empréstimo com as seguintes informações (vou listar bem claro o que pediram):
  • Valor do empréstimo (principal): 350\,000{,}00.
  • Taxa de juros por período (trimestre): 7{,}5\%, isto é, i=0{,}075 por trimestre.
  • Amortizações pagas trimestralmente.
  • Prazo: 1 ano = 4 trimestres, ou seja n=4.
    O que se pede: elaborar a planilha financeira (cronograma) de amortizações nos três sistemas indicados: SAC, SPC e SAM. A planilha comum tem, para cada trimestre, o saldo inicial, a amortização (parte do principal), os juros do período, a prestação (pagamento) e o saldo final.

Passo 2

Antes de começar, vou deixar explícito o que eu entendo por cada sistema (há variações de nomenclatura; escolhi as definições mais usadas em cursos de exatas):
  • SAC: Sistema de Amortização Constante — a amortização do principal é constante em cada período.
  • SPC: Sistema de Prestação Constante — também conhecido como sistema Price; aqui a prestação (parcela) A é igual em todos os períodos (anuidade).
  • SAM: Sistema Americano — paga-se só os juros a cada período; o principal é pago integralmente no último período.
Escolhi essas definições porque são as mais comuns em exercícios deste tipo. Se o seu professor usar outra nomenclatura, me avise depois, mas com essas definicões consigo montar as planilhas.

Passo 3

Vamos começar pelo SAC (mais simples). Conceito e fórmulas:
  • No SAC a amortização por período é constante e vale
\text{amortização} = \frac{\text{principal}}{n}.çã
Aqui \text{principal}=350\,000{,}00 e n=4, portanto
\text{amortização}=\frac{350\,000{,}00}{4}=87\,500{,}00.çã
  • Os juros do período são calculados sobre o saldo devedor no início do período:
\text{juros}_t = \text{saldo inicial}_t \times i.
  • A prestação é a soma da amortização mais os juros:
\text{prestação}_t = \text{amortização} + \text{juros}_t.çãçã
Agora aplicamos isso passo a passo para cada trimestre.

Passo 4

Cálculo detalhado SAC (cada valor com duas casas decimais):
Período 0 (início): saldo inicial 350\,000{,}00.
  1. Trimestre 1:
  • Saldo inicial: 350\,000{,}00.
  • Amortização: 87\,500{,}00 (constante).
  • Juros: 350\,000{,}00\times0{,}075=26\,250{,}00.
  • Prestação: 87\,500{,}00+26\,250{,}00=113\,750{,}00.
  • Saldo final: 350\,000{,}00-87\,500{,}00=262\,500{,}00.
  1. Trimestre 2:
  • Saldo inicial: 262\,500{,}00.
  • Amortização: 87\,500{,}00.
  • Juros: 262\,500{,}00\times0{,}075=19\,687{,}50.
  • Prestação: 87\,500{,}00+19\,687{,}50=107\,187{,}50.
  • Saldo final: 262\,500{,}00-87\,500{,}00=175\,000{,}00.
  1. Trimestre 3:
  • Saldo inicial: 175\,000{,}00.
  • Amortização: 87\,500{,}00.
  • Juros: 175\,000{,}00\times0{,}075=13\,125{,}00.
  • Prestação: 87\,500{,}00+13\,125{,}00=100\,625{,}00.
  • Saldo final: 175\,000{,}00-87\,500{,}00=87\,500{,}00.
  1. Trimestre 4:
  • Saldo inicial: 87\,500{,}00.
  • Amortização: 87\,500{,}00.
  • Juros: 87\,500{,}00\times0{,}075=6\,562{,}50.
  • Prestação: 87\,500{,}00+6\,562{,}50=94\,062{,}50.
  • Saldo final: 87\,500{,}00-87\,500{,}00=0{,}00.
Resumo numérico SAC pronto. (Total de juros pagos = soma dos juros = 26\,250{,}00+19\,687{,}50+13\,125{,}00+6\,562{,}50=65\,625{,}00.)

Passo 5

Agora o SPC (prestação constante, anuidade/Price). Vou explicar a fórmula e depois calcular passo a passo.
Conceito e fórmula:
  • No SPC a prestação A é constante e é dada pela fórmula da anuidade:
A = P\cdot\frac{i}{1-(1+i)^{-n}},
onde P é o principal ( 350\,000{,}00), i=0{,}075 e n=4.
Explicando as variáveis:
  • P = valor do empréstimo,
  • i = taxa por período,
  • n = número de períodos,
  • A = prestação que se repete em cada período.
Primeiro calculemos (1+i)^n. Podemos usar a expansão binomial ou multiplicações:
(1+0{,}075)^4 = 1{,}335469140625
(essa é a potência exata até a precisão usada). Logo
(1+i)^{-n}=\frac{1}{1{,}335469140625}\approx0{,}7486012.
Agora o denominador da fração:
1-(1+i)^{-n}\approx 1-0{,}7486012=0{,}2513988.
Aplicando a fórmula:
A = 350\,000{,}00\times\frac{0{,}075}{0{,}2513988}\approx 104\,501{,}42.
(Arredondei a prestação para centavos; por causa de arredondamentos, na última prestação pode ser necessário ajustar alguns centavos para zerar exatamente o saldo.)

Passo 6

Agora o desdobramento período a período no SPC (usarei a prestação A=104\,501{,}42 constante para os três primeiros pagamentos e ajustarei o último para zerar o saldo):
Período 0: saldo inicial 350\,000{,}00.
  1. Trimestre 1:
  • Juros: 350\,000{,}00\times0{,}075=26\,250{,}00.
  • Prestação: 104\,501{,}42.
  • Amortização (principal pago): 104\,501{,}42-26\,250{,}00=78\,251{,}42.
  • Saldo final: 350\,000{,}00-78\,251{,}42=271\,748{,}58.
  1. Trimestre 2:
  • Juros: 271\,748{,}58\times0{,}075=20\,381{,}14 (arredondado a dois decimais).
  • Prestação: 104\,501{,}42.
  • Amortização: 104\,501{,}42-20\,381{,}14=84\,120{,}28.
  • Saldo final: 271\,748{,}58-84\,120{,}28=187\,628{,}30.
  1. Trimestre 3:
  • Juros: 187\,628{,}30\times0{,}075=14\,072{,}12.
  • Prestação: 104\,501{,}42.
  • Amortização: 104\,501{,}42-14\,072{,}12=90\,429{,}30.
  • Saldo final: 187\,628{,}30-90\,429{,}30=97\,199{,}00.
  1. Trimestre 4 (ajuste final):
  • Juros: 97\,199{,}00\times0{,}075=7\,289{,}93 (arredondado).
  • Se mantivéssemos A=104\,501{,}42, a amortização seria 104\,501{,}42-7\,289{,}93=97\,211{,}49, deixando saldo final negativo de -12{,}49 por arredondamento. Para zerar exatamente o saldo, ajustamos a última prestação para
\text{prestação}_4 = \text{juros}_4 + \text{saldo inicial}_4 = 7\,289{,}925 + 97\,199{,}00 \approx 104\,488{,}93.çã
(ou seja, pagamos 104\,488{,}93 no último período; os três primeiros mantêm 104\,501{,}42. Esse ajuste é apenas por causa do arredondamento centesimal — matematicamente, com infinitas casas, todas seriam iguais.)
Observação didática: na prova você pode declarar A com duas casas e, se necessário, explicar que o último pagamento foi ajustado por centavos para zerar o saldo.

Passo 7

Finalmente o SAM (Sistema Americano). Conceito:
  • Nos períodos intermediários paga-se apenas os juros sobre o principal;
  • No último período paga-se os juros do período mais a amortização total do principal.
Cálculo:
  • Juros em cada período (enquanto o principal não foi amortizado) são sempre
350\,000{,}00\times0{,}075=26\,250{,}00.
  • Nos três primeiros trimestres paga-se apenas 26\,250{,}00.
  • No quarto trimestre paga-se juros 26\,250{,}00 mais amortização do principal 350\,000{,}00, totalizando 376\,250{,}00.
  • Amortizações: 0{,}00 nos períodos 1 a 3; 350\,000{,}00 no período 4.
  • Após o pagamento final o saldo fica 0{,}00.

Passo 8

Resumo final (planilhas) — vou apresentar as três planilhas com as colunas: período, saldo inicial, amortização, juros, prestação, saldo final. Esses são os valores que você pode copiar diretamente na sua folha / planilha.

Resposta

SAC:
Período 0: saldo inicial 350\,000{,}00
Período 1: amortização 87\,500{,}00; juros 26\,250{,}00; prestação 113\,750{,}00; saldo final 262\,500{,}00
Período 2: amortização 87\,500{,}00; juros 19\,687{,}50; prestação 107\,187{,}50; saldo final 175\,000{,}00
Período 3: amortização 87\,500{,}00; juros 13\,125{,}00; prestação 100\,625{,}00; saldo final 87\,500{,}00
Período 4: amortização 87\,500{,}00; juros 6\,562{,}50; prestação 94\,062{,}50; saldo final 0{,}00
SPC (Price) — prestação constante aproximada A=104\,501{,}42 (última parcela ajustada por centavos):
Período 0: saldo inicial 350\,000{,}00
Período 1: amortização 78\,251{,}42; juros 26\,250{,}00; prestação 104\,501{,}42; saldo final 271\,748{,}58
Período 2: amortização 84\,120{,}28; juros 20\,381{,}14; prestação 104\,501{,}42; saldo final 187\,628{,}30
Período 3: amortização 90\,429{,}30; juros 14\,072{,}12; prestação 104\,501{,}42; saldo final 97\,199{,}00
Período 4: amortização 97\,199{,}00; juros 7\,289{,}93; prestação ajustada 104\,488{,}93; saldo final 0{,}00
SAM (Sistema Americano):
Período 0: saldo inicial 350\,000{,}00
Período 1: amortização 0{,}00; juros 26\,250{,}00; prestação 26\,250{,}00; saldo final 350\,000{,}00
Período 2: amortização 0{,}00; juros 26\,250{,}00; prestação 26\,250{,}00; saldo final 350\,000{,}00
Período 3: amortização 0{,}00; juros 26\,250{,}00; prestação 26\,250{,}00; saldo final 350\,000{,}00
Período 4: amortização 350\,000{,}00; juros 26\,250{,}00; prestação 376\,250{,}00; saldo final 0{,}00

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