Calcule as seguinte integrais
integral duplaR x d A, R=(x, y) mid 0 <= x <= pi, 0 <= y <= sen(x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR x,dA
no domínio
R=(x,y)mid 0<= x<=pi,;0<= y<=sin(x).
O conteúdo envolve usar o Teorema de Fubini para transformar a integral dupla em iterada.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, escrevemos a integral como
integral duplaRx,dA ;=;integralx=0^pil(integraly=0^sin(x)x,dyr),dx

Passo 3

Na integral interna x é constante em relação a y, logo
integraly=0^sin(x)x,dy = xl[yr]0^sin(x) = xsin(x)
Assim a integral vira
integral0^pixsin(x),dx

Passo 4

Para calcular integral0^pixsin(x),dx usamos integração por partes: escolhemos u=x e dv=sin(x),dx, de modo que du=dx e v=-cos(x). Assim,
integral0^pixsin(x),dx = l[-xcos(x)r]0^pi + integral0^picos(x),dx = -picos(pi) + l[sin(x)r]0^pi = pi + 0 = pi

Resposta

pi

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