Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule:
integral triplaW(x^2+y^2) d x d y d z, onde W é o sólido limitado por 2 z=x^2+y^2 e Z=2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral triplo
integral triplaW(x^2+y^2),dx,dy,dz
onde W é o sólido limitado abaixo pela superfície 2z = x^2+y^2 e acima pelo plano z=2. Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,theta,z), em que x=rcostheta, y=rsintheta e x^2+y^2=r^2.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas a superfície 2z = x^2+y^2 vira
2z = r^2 Longrightarrow z = r^22,
e o plano superior é z=2. A região projeta no plano rtheta como o disco 0 <= r <= 2, 0 <= theta <= 2pi, pois na interseção r^22=2 r^2=4.

Passo 3

O integrando x^2+y^2 passa a ser r^2 e o elemento de volume dx,dy,dz vira r,dr,dtheta,dz. Logo a integral fica
integral triplaW(x^2+y^2),dx,dy,dz =integraltheta=0^2piintegralr=0^2integralz=r^22^2 l(r^2r),r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Simplificando o integrando em z, temos
r^2cdot r = r^3,
portanto
integralz=r^22^2r^3,dz = r^3l[zr]z=r^22^2 = r^3l(2 - r^22r)

Passo 5

Agora a integral reduz-se a
integral0^2pidtheta integral0^2r^3l(2 - r^22r),dr

Passo 6

Calcule o integral em r:
integral0^2!l(2r^3 - tfrac12r^5r),dr = l[tfrac2r^44 - tfracr^612r]0^2 = l[tfracr^42 - tfracr^612r]0^2 = l(8 - tfrac6412r) = 8 - tfrac163 = tfrac83

Passo 7

Finalmente, o integral em theta
integral0^2pi83,dtheta = 83,(2pi) = 16pi3

Resposta

16pi3

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