Se
é uma função constante
e
, mostre que
use isso para mostrar que
onde
.
Passo 1
O enunciado tem duas partes: primeiro provar que, para uma função constante
em
, vale
Em seguida, usar esse resultado e comparações de funções para mostrar que
onde
. Vamos precisar da propriedade de fatoração de constantes em integrais duplas e do fato de que funções contínuas em intervalos monótonos alcançam seus extremos nas bordas.
Passo 2
Se
é constante em
, então
Como
não depende de
nem de
, tiramos
para fora das integrais:
Passo 3
No retângulo
:
– Para , a função
é crescente de
até
. Logo
– Para
– Para
, a função
é decrescente de
até
. Logo
Multiplicando essas desigualdades (todas não negativas) obtemos, para todo
,
Passo 4
Como
em
, aplicamos o resultado do Passo 2 às funções constantes
e
:
Aqui
e
, então