Se f é uma função constante f(x, y)=k e R=[a, b] times[c, d], mostre que
integral duplaR k d A=k(b-a)(d-c)
use isso para mostrar que
0 <= integral duplaR sen(pi x) cos (pi y) d A <= 132
onde R=[0, 14] times[14, 12].

Passo 1

O enunciado tem duas partes: primeiro provar que, para uma função constante f(x,y)=k em R=[a,b]times[c,d], vale
integral duplaRk,dA = k,(b-a),(d-c)
Em seguida, usar esse resultado e comparações de funções para mostrar que
0 ,<=, integral duplaRsin(pi x)cos(pi y),dA ,<=, 132,
onde R=l[0,tfrac14r]timesl[tfrac14,tfrac12r]. Vamos precisar da propriedade de fatoração de constantes em integrais duplas e do fato de que funções contínuas em intervalos monótonos alcançam seus extremos nas bordas.

Passo 2

Se f(x,y)=k é constante em R=[a,b]times[c,d], então
integral duplaRk,dA ;=;integrala^b!integralc^dk,dy,dx
Como k não depende de x nem de y, tiramos k para fora das integrais:
integral duplaRk,dA = kintegrala^b!integralc^d1,dy,dx = k,(d-c)integrala^b1,dx = k,(d-c),(b-a)

Passo 3

No retângulo R=[0,tfrac14]times[tfrac14,tfrac12]:
– Para xin[0,tfrac14], a função sin(pi x) é crescente de sin0=0 até sin(tfracpi4)=tfracraiz22. Logo
0 ;<=;sin(pi x);<=;raiz22
– Para yin[tfrac14,tfrac12], a função cos(pi y) é decrescente de cos(tfracpi4)=tfracraiz22 até cos(tfracpi2)=0. Logo
0 ;<=;cos(pi y);<=;raiz22
Multiplicando essas desigualdades (todas não negativas) obtemos, para todo (x,y)in R,
0 ;<=;sin(pi x),cos(pi y);<=;raiz22cdotraiz22=12

Passo 4

Como 0<= sin(pi x)cos(pi y)<=tfrac12 em R, aplicamos o resultado do Passo 2 às funções constantes 0 e tfrac12:
0 ;<=;integral duplaRsin(pi x)cos(pi y),dA ;<=; integral duplaR12,dA =12,(b-a),(d-c)
Aqui b-a=tfrac14-0=tfrac14 e d-c=tfrac12-tfrac14=tfrac14, então
integral duplaRsin(pi x)cos(pi y),dA ;<=; 12cdot14cdot14 =132

Resposta

0 <= integral dupla[0,tfrac14]times[tfrac14,tfrac12]sin(pi x)cos(pi y),dA <= 132

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