Calcule integral triplaW[x^2a^2+y^2b^2+y^2c^2] d x d y d z, onde a, b, c>0 e o sólido definido por:
W=(x, y, z) in R^3 / x^2a^2+y^2b^2+y^2c^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral triplaWl[x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2r],dx,dy,dz
onde a,b,c>0 e
W=l(x,y,z)inR^3 mid x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2<=1r
O conteúdo principal é usar uma mudança linear de variáveis para transformar o elipsoide numa bola unitária e depois integrar em coordenadas esféricas.

Passo 2

Fazemos a mudança de variáveis
x = a,u, y = b,v, z = c,w
Nesse caso o domínio W vira
u^2+v^2+w^2<=1
(ou seja, a bola unitária em (u,v,w)), e o elemento de volume se transforma por
dx,dy,dz = l|detdiag(a,b,c)r|,du,dv,dw = abc,du,dv,dw

Passo 3

Sob essa mudança, o integrando fica
x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2 = u^2+v^2+w^2,
portanto a integral original é
integral triplau^2+v^2+w^2<=1l(u^2+v^2+w^2r),abc,du,dv,dw = abc;integral triplaB(0,1)l(u^2+v^2+w^2r),du,dv,dw

Passo 4

Para calcular
integral triplaB(0,1)(u^2+v^2+w^2),dV
usamos coordenadas esféricas em (u,v,w):
u = rsinphicostheta, v = rsinphisintheta, w = rcosphi,
com 0<= r<=1, 0<=phi<=pi, 0<=theta<2pi, e dV = r^2sinphi,dr,dphi,dtheta.
Note que u^2+v^2+w^2=r^2, então a integral vira
integral0^2pi!integral0^pi!integral0^1 r^2,l(r^2sinphir),dr,dphi,dtheta = gl(integral0^2pidthetagr)gl(integral0^pisinphi,dphigr)gl(integral0^1r^4,drgr)
Calculando cada parte:
integral0^2pidtheta = 2pi, integral0^pisinphi,dphi = 2, integral0^1r^4,dr = 15
Multiplicando, obtemos
integral triplaB(0,1)(u^2+v^2+w^2),dV = 2picdot 2cdot 15 = 4pi5

Passo 5

Voltando à integral original, multiplicamos pelo fator abc:
abc times 4pi5 = 4pi,a,b,c5

Resposta

4pi,a,b,c5

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