O conteúdo principal é usar uma mudança linear de variáveis para transformar o elipsoide numa bola unitária e depois integrar em coordenadas esféricas.
Passo 2
Fazemos a mudança de variáveis
Nesse caso o domínio vira
(ou seja, a bola unitária em ), e o elemento de volume se transforma por
Passo 3
Sob essa mudança, o integrando fica
x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2 = u^2+v^2+w^2,
portanto a integral original é
integral triplau^2+v^2+w^2<=1l(u^2+v^2+w^2r),abc,du,dv,dw = abc;integral triplaB(0,1)l(u^2+v^2+w^2r),du,dv,dw
Passo 4
Para calcular integral triplaB(0,1)(u^2+v^2+w^2),dV
usamos coordenadas esféricas em (u,v,w):
u = rsinphicostheta, v = rsinphisintheta, w = rcosphi,
com 0<= r<=1, 0<=phi<=pi, 0<=theta<2pi, e dV = r^2sinphi,dr,dphi,dtheta.
Note que u^2+v^2+w^2=r^2, então a integral vira