(i) Para a função definida no intervalo (
) como
desenhe a extensão periódica ímpar com período
.
(ii) Determine a série de Fourier da função.
(iii) Encontre a solução de
pelo Método de Separação de Variáveis, detalhando as etapas.
(ii) Determine a série de Fourier da função.
(iii) Encontre a solução de
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (resumido, sem resolver ainda):
- É dada a função
- Pedidos:
- (i) Construir e descrever a extensão periódica ímpar com período (
2L
] dessa função e “desenhar” essa extensão (vou descrever a forma). - (ii) Determinar a série de Fourier dessa extensão periódica ímpar (ou seja, a série em senos).
- (iii) Resolver o problema de calor
pelo método de separação de variáveis, detalhando as etapas. - (i) Construir e descrever a extensão periódica ímpar com período (
Informações relevantes que usarei:
- A extensão ímpar significa que para
definimos . - Período
significa para todo . - Para função ímpar de período
a série de Fourier em contém apenas termos em seno (coeficientes dos cossenos são zero). - A solução pelo método de separação de variáveis para condições de Dirichlet homogêneas usa as autofunções
e expoentes temporais .]
Passo 2
Construção e descrição da extensão periódica ímpar com período [(2L)).
-
Definição prática: estendo
para impondo (extensão ímpar) e depois repito com período . -
Primeiro, escrevo explicitamente
em . Para já sabemos:
Para
. Calculando isso caso a caso (usando (
- x>0
)) obtemos:
(Verificação rápida: se
e (
f(-x)=-x
), logo . Se
então
e
, logo
.)
), logo
- Depois imponho periodicidade
: para todo ,
- Descrição / “desenho” (em palavras, para você imaginar):
- No intervalo
é o “triângulo” que sobe linearmente de até com altura , e desce linearmente até em . - Pela extensão ímpar, no intervalo
aparece o mesmo triângulo espelhado com sinal trocado (ou seja, negativo), com pico negativo em de valor . - Repetindo com período
obtemos uma sequência de triângulos alternando sinais a cada intervalo de comprimento (um triângulo positivo em , um triângulo negativo em , etc.), com continuidade em todos os pontos exceto possivelmente nas junções de período (mas a função definida acima é contínua nos pontos interiores do período).]
- No intervalo
Passo 3
Conceito de série de Fourier para função ímpar de período
e fórmula dos coeficientes.
- Para uma função ímpar de período
a série de Fourier tem apenas termos em seno:
- Fórmula dos coeficientes (explicando onde vem): os senos
são ortogonais em com o produto interno . Para obter multiplicamos ambos os lados por e integramos de a . Isso leva à fórmula padrão
Aqui
é um inteiro positivo. A razão do fator
é a normalização resultante da integral de
(pode confiar nisso ou derivar pela ortogonalidade).
Passo 4
Cálculo explícito de
dividindo a integral em dois trechos e usando integração por partes.
- Escrevo
para simplificar os símbolos. Então
-
Calculo da primeira integral
. - Uso integração por partes: tomo
(então ) e (então ). - Pela fórmula
,
- A integral remanescente é
. Substituindo os limites:
- Uso integração por partes: tomo
-
Calculo da segunda integral
. - Novamente por partes: tomo
(então ) e (então ). - Aplico
:
- Avaliando: no limite
o termo zera, e a integral de cosseno dá . Assim
- Observação útil:
. Portanto
- Novamente por partes: tomo
-
Somando
cancelam os termos com : -
LogoVoltando a
obtemos -
Interpretação final:
para par, e para ímpar ( ) vale . Assim os termos não nulos ocorrem apenas para ímpar e -
Portanto a série de Fourier (somente senos) fica
Passo 5
Resolução do problema de calor por separação de variáveis (detalhada).
- Ideia do método: procurar soluções separáveis da forma
. Substituo em :
Dividindo por
(assumindo não nulos)
onde escolhi
para que apareçam oscilações espaciais apropriadas.
-
Sistemas de ODE resultantes:
- Equação temporal:
. - Equação espacial:
,
com as condições de contorno homogêneas.
- Equação temporal:
-
Determinação dos autovalores e autofunções (casos):
-
dá exponenciais reais no espaço e não satisfaz BC homogêneas não-triviais. -
dá solução linear no espaço; imposição leva à solução trivial. -
escrevo . Então Impor dá . Impor dá . Para precisamos , então com . - Assim os autovalores são
e as autofunções (normalizadas por conveniência) são
-
-
Solução temporal correspondente:
-
Combinação linear das modos dá a solução geral:onde os coeficientes
são determinados pela condição inicial . -
Usando ortogonalidade (mesmo cálculo que usamos para os
): Já calculamosno Passo 4: ou, explicitando apenas os termos ímpares, -
Portanto a solução final do problema de calor é
ou, escrevendo só os
ímpares
,
Resposta
(i) Extensão ímpar periódica de período
: para
(ii) Série de Fourier (série em senos)
(iii) Solução do problema de calor por separação de variáveis