Calcule as seguinte integrais.
integral x^2-5 x+16(2 x+1)(x-2)^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^2-5x+16(2x+1)(x-2)^2x,dx
Isso é uma fração racional cujo numerador tem grau menor que o denominador, logo podemos usar frações parciais para quebrar em somas mais simples de integrar.

Passo 2

Assumimos a decomposição em frações parciais da forma
x^2-5x+16(2x+1)(x-2)^2x = Ax + B2x+1 + Cx-2 + D(x-2)^2
Multiplicando ambos os lados por (2x+1)(x-2)^2x, obtemos
x^2-5x+16 = A,(2x+1)(x-2)^2 + B,x,(x-2)^2 + C,x,(2x+1)(x-2) + D,x,(2x+1)

Passo 3

Para encontrar A,B,C,D, avaliamos em valores convenientes de x:
  1. x=0:
16 = A,(1),(4)Longrightarrow A=4
  1. x=-tfrac12:
tfrac14 -5l(-tfrac12r)+16 = tfrac754 = B!l(-tfrac12r)l(-tfrac52r)^2 = -tfrac258B ;Longrightarrow;B=-6
  1. x=2:
4 -10 +16 =10 = Dcdot2cdot5 ;Longrightarrow;D=1
  1. Para C, tomamos x=1:
1 -5 +16 =12 =3A + B -3C +3 =3cdot4 +(-6) -3C +3 =9 -3C ;Longrightarrow;9-3C=12 ;Longrightarrow;C=-1

Passo 4

Substituindo em cada fração parcial, temos
x^2-5x+16(2x+1)(x-2)^2x = 4x - 62x+1 - 1x-2 + 1(x-2)^2
Agora integramos termo a termo:
integral 4x,dx = 4ln|x|, integral !-62x+1,dx = -6cdot12ln|2x+1| = -3ln|2x+1|,
integral !-1x-2,dx = -ln|x-2|, integral 1(x-2)^2,dx = -1x-2

Resposta

integral x^2-5x+16(2x+1)(x-2)^2x,dx = 4ln|x| - 3ln|2x+1| - ln|x-2| - 1x-2 + C

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