(a) Encontre a expressão da velocidade e da aceleração de um oscilador amortecido cujo deslocamento é dado por x=A e^-gamma t sen omega t, onde omega=(omega0^2-gamma^2)^1 / 2 e omega0=(k / m)^1 / 2 é a frequência natural do oscilador sem amortecimento. (b) Assuma que gamma é muito menor que omega0 [isto é, a amplitude do movimento permanece essencialmente constante durante uma oscilaçãol. Verifique que a energia cinética deste oscilador amortecido pode ser escrita como Ek=12 m omega0^2 A^2 e^-2 gamma t cos ^2 omega0 t. (c) Verifique que a energia total é E=12 m omega0^2 A^2 e^-2 gamma t.

Passo 1

O enunciado dá o deslocamento de um oscilador amortecido
x(t)=A e^-gamma tsin(omega t),
onde omega=raizomega0^2-gamma^2 e omega0=raizk/m.
(a) Pede-se a velocidade dot x(t) e a aceleração ddot x(t), usando regra do produto e derivadas de seno e cosseno.
(b) Sob a hipótese gammallomega0, deve-se mostrar que
Ek=tfrac12 momega0^2A^2e^-2gamma tcos^2(omega0t)
(c) Mostrar que a energia total é
E=tfrac12 momega0^2A^2e^-2gamma t

Passo 2

Para a velocidade aplicamos regra do produto:
dot x(t) = Addtl(e^-gamma tsin(omega t)r) = Al(-gamma e^-gamma tsin(omega t)+omega e^-gamma tcos(omega t)r) = A e^-gamma tl(omegacos(omega t)-gammasin(omega t)r)

Passo 3

Para a aceleração derivamos dot x(t) novamente:
ddot x(t) = A e^-gamma tl[-gamma(omegacos(omega t)-gammasin(omega t)) +l(-omega^2sin(omega t)-gammaomegacos(omega t)r)r]
Reagrupando e usando omega^2+gamma^2=omega0^2 resulta
ddot x(t) = -A e^-gamma tl(omega0^2sin(omega t)+2gammaomegacos(omega t)r)

Passo 4

A energia cinética geral é
Ek=tfrac12 mdot x^2 =tfrac12 mA^2e^-2gamma tl(omegacos(omega t)-gammasin(omega t)r)^2
Para gammallomega0 temos omegaapproxomega0 e
gammasin(omega t)llomegacos(omega t), então
dot x(t)approx Aomega0e^-gamma tcos(omega0t) Longrightarrow Ekapproxtfrac12 momega0^2A^2e^-2gamma tcos^2(omega0t)

Passo 5

A energia potencial é
U=tfrac12 k x^2 = tfrac12 m omega0^2 A^2 e^-2 gamma t sin^2(omega0 t)
Somando-se Ek + U e usando cos^2 + sin^2 = 1 obtém-se
E = tfrac12 m omega0^2 A^2 e^-2 gamma t

Resposta

(a)
dot x(t)=A e^-gamma tl(omegacos(omega t)-gammasin(omega t)r), ddot x(t)=-A e^-gamma tl(omega0^2sin(omega t)+2gammaomegacos(omega t)r)
(b)
Ekapproxtfrac12 momega0^2A^2e^-2gamma tcos^2(omega0t)
(c)
E=tfrac12 momega0^2A^2e^-2gamma t

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