(a) Encontre a expressão da velocidade e da aceleração de um oscilador amortecido cujo deslocamento é dado por
, onde
e
é a frequência natural do oscilador sem amortecimento. (b) Assuma que
é muito menor que
[isto é, a amplitude do movimento permanece essencialmente constante durante uma oscilaçãol. Verifique que a energia cinética deste oscilador amortecido pode ser escrita como
. (c) Verifique que a energia total é
.
Passo 1
O enunciado dá o deslocamento de um oscilador amortecido
onde
e
.
(a) Pede-se a velocidade e a aceleração
, usando regra do produto e derivadas de seno e cosseno.
(b) Sob a hipótese , deve-se mostrar que
(a) Pede-se a velocidade
(b) Sob a hipótese
(c) Mostrar que a energia total é
Passo 2
Para a velocidade aplicamos regra do produto:
Passo 3
Para a aceleração derivamos
novamente:
Reagrupando e usando
resulta
Passo 4
A energia cinética geral é
Para
temos
e
, então
Passo 5
A energia potencial é
Somando-se
e usando
obtém-se
Resposta
(a)
(b)
(c)