Uma partícula puntiforme está atada a um pêndulo simples de comprimento 2 m . O pêndulo oscila com uma amplitude de 2^o. Expresse, em função do tempo, (a) o seu deslocamento angular, (b) a sua velocidade angular, (c) a sua aceleração angular, (d) sua velocidade linear, (e) sua aceleração centrípeta e (f) a tensão na corda. Considere que a massa da partícula puntiforme é de 1 kg. Faça os cálculos acima para duas situações: situação (i) o pêndulo está na Terra; situação (ii) o pêndulo está em Marte.

Passo 1

O enunciado trata de um pêndulo simples de comprimento ell = 2 m e massa m=1 kg que oscila com amplitude angular de 2^circ. Para pequenos deslocamentos usamos a aproximação sinthetaapproxtheta, e a equação de movimento linearizada leva a um movimento harmônico simples com
theta(t)=theta0cos(omega t+phi),
onde theta0 é a amplitude em radianos e omega=raizg/ell é a pulsação. Tomamos phi=0 e theta0=2^circ=pi/90 rad. Vamos achar (a) a posição angular theta(t), (b) a velocidade angular dottheta(t), (c) a aceleração angular ddottheta(t), (d) a velocidade linear v(t), (e) a aceleração centrípeta ac(t) e (f) a tensão T(t), primeiro na Terra ( g=9,81 m/s²) e depois em Marte ( g=3,71 m/s²).

Passo 2

Calculamos as pulsações para cada gravidade:
omegaE=raiz9,812, omegaM=raiz3,712

Passo 3

Escrevemos a posição angular em função do tempo:
thetaE(t)=pi90cosl(omegaE tr),
thetaM(t)=pi90cosl(omegaM tr)

Passo 4

A velocidade angular é a derivada de theta(t):
dotthetaE(t)=-pi90,omegaEsinl(omegaE tr),
dotthetaM(t)=-pi90,omegaMsinl(omegaM tr)

Passo 5

A accelêraçao angular é a derivada de segunda ordem:
ddotthetaE(t)=-pi90,omegaE^2cosl(omegaE tr),
ddotthetaM(t)=-pi90,omegaM^2cosl(omegaM tr)

Passo 6

A velocidade linear na massa é v=ell,dottheta:
vE(t)=2;dotthetaE(t)=-2;pi90,omegaEsinl(omegaE tr),
vM(t)=2;dotthetaM(t)=-2;pi90,omegaMsinl(omegaM tr)

Passo 7

A aceleração centrípeta é ac=v^2/ell, ou equivalentemente ell,dottheta^2:
ac,E(t)=2;dotthetaE(t)^2 =2l(pi90r)^!2omegaE^2sin^2l(omegaE tr),
ac,M(t)=2;dotthetaM(t)^2 =2l(pi90r)^!2omegaM^2sin^2l(omegaM tr)

Passo 8

A tensão na corda vem da segunda lei radial: T - mgcostheta = melldottheta^2. Como m=1,
TE(t)=9,81cosl(thetaE(t)r)+2,dotthetaE(t)^2,
TM(t)=3,71cosl(thetaM(t)r)+2,dotthetaM(t)^2

Resposta

(a) Posição angular
thetaE(t)=pi90cos!l(raiztfrac9,812,tr), thetaM(t)=pi90cos!l(raiztfrac3,712,tr)
(b) Velocidade angular
dotthetaE(t)=-pi90raiz9,812;sin!l(raiztfrac9,812,tr), dotthetaM(t)=-pi90raiz3,712;sin!l(raiztfrac3,712,tr)
(c) Aceleração angular
ddotthetaE(t)=-pi90,9,812cos!l(raiztfrac9,812,tr), ddotthetaM(t)=-pi90,3,712cos!l(raiztfrac3,712,tr)
(d) Velocidade linear
vE(t)=-2,pi90raiz9,812;sin!l(raiztfrac9,812,tr), vM(t)=-2,pi90raiz3,712;sin!l(raiztfrac3,712,tr)
(e) Aceleração centrípeta
ac,E(t)=2l(pi90r)^!29,812sin^2!l(raiztfrac9,812,tr), ac,M(t)=2l(pi90r)^!23,712sin^2!l(raiztfrac3,712,tr)
(f) Tensão na corda
TE(t)=9,81cos!l(tfracpi90cos(omegaE t)r) +2l(tfracpi90omegaEsin(omegaE t)r)^2,
TM(t)=3,71cos!l(tfracpi90cos(omegaM t)r) +2l(tfracpi90omegaMsin(omegaM t)r)^2,
onde omegaE=raiz9,81/2 e omegaM=raiz3,71/2.

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