Calcule a seguinte integral:
integral 1x^3+x^2+x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral 1x^3+x^2+x ,dx. A matéria que estamos usando aqui é o cálculo integral, especificamente técnicas de integração como fatoração e frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e então decompor a fração em partes mais simples que facilitam a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3+x^2+x. Podemos fatorar um x comum:
x^3 + x^2 + x = x(x^2 + x + 1)
Então, a integral fica:
integral 1x(x^2 + x + 1) ,dx

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração 1x(x^2 + x + 1) em frações parciais. A ideia é expressar essa fração como a soma de duas frações mais simples:
1x(x^2 + x + 1) = Ax + Bx + Cx^2 + x + 1

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por x(x^2 + x + 1) para eliminar os denominadores:
1 = A(x^2 + x + 1) + (Bx + C)x
Simplificando:
1 = A x^2 + A x + A + B x^2 + C x
Juntando os termos semelhantes:
1 = (A + B) x^2 + (A + C) x + A

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
  • Para x^2: A + B = 0
  • Para x: A + C = 0
  • Termo constante: A = 1
Resolvendo essas equações:
  • De A = 1, temos A = 1.
  • De A + B = 0, substituindo A: 1 + B = 0 então B = -1.
  • De A + C = 0, substituindo A: 1 + C = 0 então C = -1.

Passo 6

Substituindo os valores encontrados na decomposição inicial:
1x(x^2 + x + 1) = 1x + (-1)x - 1x^2 + x + 1
= 1x - x + 1x^2 + x + 1

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x ,dx - integral x + 1x^2 + x + 1 ,dx
A primeira integral é direta:
integral 1x ,dx = ln|x|

Passo 8

Para a segunda integral integral x + 1x^2 + x + 1 ,dx, observamos que o numerador é igual à derivada do denominador:
ddx(x^2 + x + 1) = 2x + 1
Mas temos x + 1, então podemos ajustar:
x + 1 = 12(2x + 1) + 12
Portanto:
integral x + 1x^2 + x + 1 ,dx = 12 ln|x^2 + x + 1| + 12 integral 1x^2 + x + 1 ,dx

Passo 9

A última integral integral 1x^2 + x + 1 ,dx pode ser resolvida completando o quadrado no denominador:
x^2 + x + 1 = (x + 12)^2 + 34
Então,
integral 1(x + 12)^2 + (raiz32)^2 ,dx = 2raiz3 arctan(2raiz3(x + 12))

Passo 10

Juntando tudo, a integral original fica:
ln|x| - 12 ln|x^2 + x + 1| - 1raiz3 arctan(2x + 1raiz3) + C

Resposta

A integral é igual a
ln|x| - 12 ln|x^2 + x + 1| - 1raiz3 arctan(2x + 1raiz3) + C

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