Calcule a seguinte integral:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A matéria que estamos usando aqui é o cálculo integral, especificamente técnicas de integração como fatoração e frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e então decompor a fração em partes mais simples que facilitam a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Podemos fatorar um
comum:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração
em frações parciais. A ideia é expressar essa fração como a soma de duas frações mais simples:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
- Para
: - Para
: - Termo constante:
Resolvendo essas equações:
- De
, temos . - De
, substituindo : então . - De
, substituindo : então .
Passo 6
Substituindo os valores encontrados na decomposição inicial:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
A primeira integral é direta:
Passo 8
Para a segunda integral
, observamos que o numerador é igual à derivada do denominador:
Mas temos
, então podemos ajustar:
Portanto:
Passo 9
A última integral
pode ser resolvida completando o quadrado no denominador:
Então,
Passo 10
Juntando tudo, a integral original fica:
Resposta
A integral é igual a