Calcule a seguinte integral:
integral e^3 x(e^x+1)(e^2 x+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral de uma função que envolve exponenciais no denominador. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, mais especificamente, técnicas de substituição e frações parciais. Vamos precisar manipular a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma substituição. Vamos deixar $ u = e^{x} $. Assim, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é $ du/dx = e^{x} = u $, o que significa que $ dx = du/u $.

Passo 3

Agora, vamos reescrever toda a integral em termos de $ u $:
u
e^3x = u^3
e^x + 1 = u + 1
Substituindo na integral, temos:
e^2x + 1 = u^2 + 1

Passo 4

Agora, vamos usar frações parciais para decompor a fração u^2(u +1)(u^2+1). Assumimos que:
u^2(u +1)(u^2+1) = Au +1 + Bu + Cu^2 +1
Multiplicando ambos os lados por (u +1)(u^2+1) para eliminar os denominadores:
u^2 = A(u^2 +1) + (Bu + C)(u +1)

Passo 5

Vamos expandir e simplificar:
u^2 = A u^2 + A + B u^2 + B u + C u + C
Agrupando os termos semelhantes:
u^2 = (A + B)u^2 + (B + C)u + (A + C)
Igualando os coeficientes:
A + B = 1 B + C = 0 A + C = 0
Resolvendo o sistema:
C = -A e B = -C = A
Substituindo na primeira equação:
A + A = 1 Rightarrow 2A = 1 Rightarrow A = 12
Então:
B = 12 e C = -12

Passo 6

Substituindo os valores de $ A $, $ B $ e $ C $ na decomposição:
A
Então, a integral fica:
B

Passo 7

Vamos separar a integral em partes:
12 integral 1u +1 du + 12 integral uu^2 +1 du - 12 integral 1u^2 +1 du
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 8

Integrando cada parte:
12 ln|u +1| + 14 ln|u^2 +1| - 12 arctan(u) + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 9

Por fim, voltando à variável original $ x $ (já que $ u = e^{x} $):
x

Resposta

A integral é igual a:
12 ln(e^x +1) + 14 ln(e^2x +1) - 12 arctan(e^x) + C

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