Calcule a seguinte integral:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral de uma função que envolve exponenciais no denominador. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, mais especificamente, técnicas de substituição e frações parciais. Vamos precisar manipular a expressão para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma substituição. Vamos deixar $ u = e^{x} $. Assim, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é $ du/dx = e^{x} = u $, o que significa que $ dx = du/u $.
Passo 3
Agora, vamos reescrever toda a integral em termos de $ u $:
Substituindo na integral, temos:
Passo 4
Agora, vamos usar frações parciais para decompor a fração
. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Vamos expandir e simplificar:
Agrupando os termos semelhantes:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Passo 6
Substituindo os valores de $ A $, $ B $ e $ C $ na decomposição:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos separar a integral em partes:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 8
Integrando cada parte:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 9
Por fim, voltando à variável original $ x $ (já que $ u = e^{x} $):
Resposta
A integral é igual a: