Calcule a seguinte integral:
integral raizx^2-4x^2 d x

Passo 1

Beleza! Temos que calcular a integral integral raizx^2-4x^2 , dx. Esse exercício envolve cálculo integral, especificamente integrais que contêm funções quadráticas e raízes. Vamos precisar usar substituição trigonométrica ou hiperbólica para simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sob a raiz. Observamos que raizx^2 - 4 sugere uma forma que pode ser relacionada com identidades trigonométricas. Para facilitar, vamos fazer uma substituição que transforme a expressão em algo mais manejável.

Passo 3

Vamos fazer a substituição x = 2sec(theta). Isso significa que theta é o ângulo cujo secante é x/2. Com essa substituição, conseguimos simplificar a raiz:
raizx^2 - 4 = raiz4sec^2(theta) - 4 = raiz4(sec^2(theta) - 1) = raiz4tan^2(theta) = 2tan(theta)

Passo 4

Agora, precisamos calcular dx em termos de theta. Derivando x = 2sec(theta), temos:
dx = 2sec(theta)tan(theta) , dtheta

Passo 5

Substituindo x e dx na integral original, ficamos com:
integral 2tan(theta)4sec^2(theta) cdot 2sec(theta)tan(theta) , dtheta
Simplificando os termos:
integral 2tan(theta) cdot 2sec(theta)tan(theta)4sec^2(theta) , dtheta = integral 4tan^2(theta)sec(theta)4sec^2(theta) , dtheta = integral tan^2(theta)sec(theta) , dtheta

Passo 6

Sabemos que tan(theta) = sin(theta)cos(theta) e sec(theta) = 1cos(theta). Então:
tan^2(theta)sec(theta) = sin^2(theta)cos^2(theta) cdot cos(theta) = sin^2(theta) cdot 1cos(theta)
Isso simplifica para:
sin^2(theta)cos(theta)

Passo 7

Agora, a integral fica:
integral sin^2(theta)cos(theta) , dtheta
Vamos fazer uma substituição u = \sin(\theta), então du = \cos(\theta) , d\theta.

Passo 8

Substituindo na integral:
integral u^2 , du = u^33 + C = sin^3(theta)3 + C

Passo 9

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que x = 2sec(theta), podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
  • A hipotenusa é x = 2sec(theta)
  • O lado adjacente é 2
  • O lado oposto é raizx^2 - 4 = 2tan(theta)
Logo, sin(theta) = raizx^2 - 4x.

Passo 10

Substituindo sin(theta) de volta:
sin^3(theta)3 + C = 13 ( raizx^2 - 4x )^3 + C = (x^2 - 4)^323x^3 + C

Resposta

integral raizx^2-4x^2 , dx = (x^2 - 4)^323x^3 + C

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