Calcule a seguinte integral:
Passo 1
Beleza! Temos que calcular a integral
. Esse exercício envolve cálculo integral, especificamente integrais que contêm funções quadráticas e raízes. Vamos precisar usar substituição trigonométrica ou hiperbólica para simplificar a expressão e facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão sob a raiz. Observamos que
sugere uma forma que pode ser relacionada com identidades trigonométricas. Para facilitar, vamos fazer uma substituição que transforme a expressão em algo mais manejável.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Isso significa que
é o ângulo cujo secante é
. Com essa substituição, conseguimos simplificar a raiz:
Passo 4
Agora, precisamos calcular
em termos de
. Derivando
, temos:
Passo 5
Substituindo
e
na integral original, ficamos com:
Simplificando os termos:
Passo 6
Sabemos que
e
. Então:
Isso simplifica para:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Vamos fazer uma substituição u = \sin(\theta), então du = \cos(\theta) , d\theta.
Passo 8
Substituindo na integral:
Passo 9
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
- A hipotenusa é
- O lado adjacente é 2
- O lado oposto é
Logo,
.
Passo 10
Substituindo
de volta: