Use o teste da derivada segunda para encontrar os mínimos e máximos relativos das seguintes funções:
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar os mínimos e máximos relativos da função $ f(x) = \frac{4x}{x^{2}+4} $. Para isso, vamos usar o teste da derivada segunda, que nos ajuda a determinar se um ponto crítico é um mínimo ou máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto.
A função é $ f(x) = \frac{4x}{x^{2}+4} $. Para derivar isso, usamos a regra do quociente:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão da primeira derivada:
Passo 4
Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo $ f’(x) = 0 $:
O numerador precisa ser zero:
Então, os pontos críticos são $ x = 2 $ e $ x = -2 $.
Passo 5
Agora vamos calcular a segunda derivada $ f’’(x) $ para aplicar o teste da derivada segunda. A segunda derivada nos diz se a concavidade da função nesse ponto é para cima ou para baixo.
Vamos derivar $ f’(x) = \frac{-4(x^{2} - 4)}{(x{2}+4){2}} $. Usamos novamente a regra do quociente:
Simplificando isso pode ficar complicado, mas para facilitar, vamos avaliar $ f’’(x) $ nos pontos críticos $ x = 2 $ e $ x = -2 $.
Passo 6
Vamos calcular $ f’’(2) $:
Substituindo $ x = 2 $ na segunda derivada simplificada:
Isso significa que a função é côncava para cima em $ x = 2 $, então $ x = 2 $ é um mínimo relativo.
Agora, vamos calcular $ f’’(-2) $:
Substituindo $ x = -2 $ na segunda derivada simplificada:
Isso significa que a função é côncava para baixo em $ x = -2 $, então $ x = -2 $ é um máximo relativo.
Resposta
A função $ f(x) = \frac{4x}{x^{2}+4} $ tem um mínimo relativo em $ x = 2 $ e um máximo relativo em $ x = -2 $.