Use o teste da derivada segunda para encontrar os mínimos e máximos relativos das seguintes funções:
f(x)=4 xx^2+4

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar os mínimos e máximos relativos da função $ f(x) = \frac{4x}{x^{2}+4} $. Para isso, vamos usar o teste da derivada segunda, que nos ajuda a determinar se um ponto crítico é um mínimo ou máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto.
A função é $ f(x) = \frac{4x}{x^{2}+4} $. Para derivar isso, usamos a regra do quociente:
f(x)

Passo 3

Vamos simplificar a expressão da primeira derivada:
f'(x) = 4x^2 + 16 - 8x^2(x^2+4)^2 = -4x^2 + 16(x^2+4)^2 = -4(x^2 - 4)(x^2+4)^2

Passo 4

Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo $ f’(x) = 0 $:
f'(x) = 0
O numerador precisa ser zero:
-4(x^2 - 4)(x^2+4)^2 = 0
Então, os pontos críticos são $ x = 2 $ e $ x = -2 $.

Passo 5

Agora vamos calcular a segunda derivada $ f’’(x) $ para aplicar o teste da derivada segunda. A segunda derivada nos diz se a concavidade da função nesse ponto é para cima ou para baixo.
Vamos derivar $ f’(x) = \frac{-4(x^{2} - 4)}{(x{2}+4){2}} $. Usamos novamente a regra do quociente:
f''(x)
Simplificando isso pode ficar complicado, mas para facilitar, vamos avaliar $ f’’(x) $ nos pontos críticos $ x = 2 $ e $ x = -2 $.

Passo 6

Vamos calcular $ f’’(2) $:
Substituindo $ x = 2 $ na segunda derivada simplificada:
f''(2) óá
Isso significa que a função é côncava para cima em $ x = 2 $, então $ x = 2 $ é um mínimo relativo.
Agora, vamos calcular $ f’’(-2) $:
Substituindo $ x = -2 $ na segunda derivada simplificada:
x = 2 óá
Isso significa que a função é côncava para baixo em $ x = -2 $, então $ x = -2 $ é um máximo relativo.

Resposta

A função $ f(x) = \frac{4x}{x^{2}+4} $ tem um mínimo relativo em $ x = 2 $ e um máximo relativo em $ x = -2 $.

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