Calcule a seguinte integral:
integral 2 x^3-4 x^2-x-3x^2-2 x-3 d x
a. 2 ln |x+1|+3 ln |x-3|+C
b. x^2+2 ln |x+1|+3 ln |x-3|+C
c. x^2+ln |x|+2 ln |x|+C
d. x^2+2 ln |x+1|+3 ln |x-3|
e. x^2+ln |x+1|+2 ln |x-2|+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional
integral 2x^3-4x^2-x-3x^2-2x-3,dx,
onde x^2-2x-3=(x-3)(x+1). O conteúdo envolve divisão de polinômios seguida de decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fazemos a divisão do numerador pelo denominador para separar parte polinomial e parte fracionária:
2x^3-4x^2-x-3x^2-2x-3 =2x+5x-3x^2-2x-3
Logo
integral 2x^3-4x^2-x-3x^2-2x-3,dx =integral 2x,dx+integral 5x-3(x-3)(x+1),dx

Passo 3

Para
Multiplicando por obtemos
Igualando coeficientes:
. Assim

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral 2x,dx = x^2 + C1,
integral l(3x-3+2x+1r),dx =3ln|x-3|+2ln|x+1|+C2
Somando as constantes C1 e C2 em C, obtemos
x^2 + 3ln|x-3| + 2ln|x+1| + C

Resposta

b. x^2+2 ln |x+1|+3 ln |x-3|+C

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