Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty 2 cdot 4 cdot 6 cdot cdots cdot(2 n)n!

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty 2cdot4cdot6cdots(2n)n!
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Aqui o termo geral é positivo, então basta verificar a convergência da própria série (convergência absoluta e condicional coincidem).

Passo 2

Observe o numerador, que é um produto dos primeiros n pares:
2cdot4cdot6cdots(2n) =prodk=1^n(2k)
Fatorando 2 em cada termo, temos
prodk=1^n(2k) =2^nprodk=1^nk =2^n,n!

Passo 3

Substituindo essa expressão no termo geral, obtemos
an =2cdot4cdot6cdots(2n)n! =2^n,n!n! =2^n

Passo 4

Portanto a série vira
sumn=1^infty2^n,
que é uma série geométrica de razão r=2. Como lvert rrvert>1, essa série não converge, ou seja, diverge.

Resposta

A série é divergente.

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