Calcule a seguinte integral por:
(b) Por partes
integral ln (x^2-1) d x

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos calcular a integral indefinida I=integral ln(x^2-1),dx usando a técnica de integração por partes. Vamos aplicar a fórmula integral u,dv = u v - integral v,du e, depois, usar frações parciais para resolver o que restar.

Passo 2

Escolha de u e dv: definimos
u = ln(x^2-1), dv = dx
Em seguida calculamos
du = 2xx^2-1,dx, v = x

Passo 3

Aplicação do método: substituindo na fórmula de partes, temos
I = xln(x^2-1) - integral x cdot 2xx^2-1,dx = xln(x^2-1) - 2integral x^2x^2-1,dx

Passo 4

Simplificação do integrando: escrevemos
x^2x^2-1 = 1 + 1x^2-1,
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integral x^2x^2-1,dx = integral 1,dx + integral 1x^2-1,dx = x + integral 1x^2-1,dx

Passo 5

Integração por frações parciais: decompomos
1x^2-1 = Ax-1 + Bx+1 implies A=tfrac12,;B=-tfrac12
Então
integral 1x^2-1,dx = 12integral 1x-1,dx - 12integral 1x+1,dx = 12ln|x-1| - 12ln|x+1|

Passo 6

Combinação final: reunindo tudo em I, obtemos
I = xln(x^2-1) - 2l(x + tfrac12ln|x-1| - tfrac12ln|x+1|r) + C
que simplifica para a forma abaixo.

Resposta

xln(x^2-1) - 2x - ln!l|tfracx-1x+1r| + C

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