Calcule a seguinte integral por:
(a) Substituição simples.
integral cos xsin ^4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral cos xsin^4 x,dx usando substituição simples; o conteúdo é integração por substituição e vamos precisar identificar uma função cuja derivada apareça no numerador.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = sin x. Então a derivada é du = cos x,dx. Dessa forma, cos x,dx é exatamente du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos:
integral cos xsin^4 x,dx = integral 1u^4,du = integral u^-4,du
Agora basta integrar a potência de u:
integral u^-4,du = u^-3-3 + C = -13u^3 + C
Por fim, voltamos à variável x usando u = sin x, obtendo a expressão em função de x.

Resposta

-\frac{1}{3\sin^3 x} + C

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