Calcule a seguinte integral por:
© Método de Substiuição trigonométricas
integral 3-xraiz16+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral integral 3 - xraiz16 + x^2 , dx usando o Método de Substituição Trigonométrica. Isso significa que vamos usar trigonometria para simplificar a integral. Vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e fazer uma substituição que facilite a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral 3 - xraiz16 + x^2 , dx = 3 integral 1raiz16 + x^2 , dx - integral xraiz16 + x^2 , dx
Agora temos duas integrais mais simples para resolver separadamente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira integral: 3 integral 1raiz16 + x^2 , dx. Para resolver isso usando substituição trigonométrica, fazemos:
x = 4 tan theta Rightarrow dx = 4 sec^2 theta , dtheta
Substituindo na integral:
3 integral 1raiz16 + 16 tan^2 theta cdot 4 sec^2 theta , dtheta = 3 integral 4 sec^2 theta4 sec theta , dtheta = 3 integral sec theta , dtheta
Sabemos que integral sec theta , dtheta = ln |sec theta + tan theta| + C.
Então:
3 ln |sec theta + tan theta| + C
Voltando para x:
theta = tan^-1(x4) Rightarrow sec theta = raiz16 + x^24, tan theta = x4
Portanto:
3 ln |raiz16 + x^24 + x4| + C = 3 ln |raiz16 + x^2 + x4| + C

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral: - integral xraiz16 + x^2 , dx. Aqui, podemos usar uma substituição simples:
Seja u = 16 + x^2, então du = 2x , dx, ou seja, du2 = x , dx.
Substituindo na integral:
- integral xraizu cdot du2x = - 12 integral u^-1/2 , du = - 12 cdot 2 u^1/2 + C = -raizu + C
Voltando para x:
- raiz16 + x^2 + C

Passo 5

Agora, juntamos as duas partes que resolvemos:
3 ln |raiz16 + x^2 + x4| - raiz16 + x^2 + C
Podemos simplificar um pouco a expressão:
integral 3 - xraiz16 + x^2 , dx = 3 ln |raiz16 + x^2 + x| - raiz16 + x^2 + C

Resposta

A integral integral 3 - xraiz16 + x^2 , dx é igual a:
3 ln |raiz16 + x^2 + x,| - raiz16 + x^2 + C

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