Calcule a seguinte integral por:
(d) Método de frações parciais.
integral 2 x+7x^3-x^2+x-1 d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral integral 2x+7x^3 - x^2 + x - 1,dx usando o método de frações parciais, um conteúdo de integração de funções racionais que requer fatoração do denominador e decomposição em somas de frações mais simples.

Passo 2

O denominador x^3 - x^2 + x - 1 se fatora em:
x^3 - x^2 + x - 1 = (x-1)(x^2+1)

Passo 3

Para decompor em frações parciais, escrevemos:
2x+7(x-1)(x^2+1) = Ax-1 + Bx + Cx^2+1
Multiplicando pelos fatores do denominador:
2x+7 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1)

Passo 4

Expandindo e juntando termos em potências de x:
A x^2 + A + Bx^2 - Bx + Cx - C = (A+B)x^2 +(-B+C)x + (A-C)
Como isso deve ser igual a 2x+7, obtemos o sistema
A + B = 0, -B + C = 2, A - C = 7
Resolvendo, fica A=92, B=-92 e C=-52.

Passo 5

Substituindo na decomposição, temos
2x+7(x-1)(x^2+1)=92x-1+-92x-52x^2+1
Logo a integral se separa em
integral 2x+7(x-1)(x^2+1),dx = 92integral dxx-1 - 92integral xx^2+1,dx - 52integral dxx^2+1

Passo 6

As integrais conhecidas são: integral dxx-1=ln|x-1|, integral xx^2+1,dx=tfrac12ln(x^2+1) e integral dxx^2+1=arctan(x).

Passo 7

Substituindo esses resultados e somando a constante de integração C, obtemos:
92ln|x-1| - 92cdot12ln(x^2+1) - 52arctan(x) + C
Simplificando,
92ln|x-1| - 94ln(x^2+1) - 52arctan(x) + C

Resposta

92ln|x-1| - 94ln(x^2+1) - 52arctan(x) + C

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