Calcule a seguinte integral por:
(b) Por partes
integral x[sin (x)-cos (x^2)] d x

Passo 1

Estamos calculando a integral
integral x[sin(x) - cos(x^2)],dx
usando integração por partes e substituição. Vamos usar a fórmula de partes
integral u,dv = u,v - integral v,du, e para o segundo termo a substituição t = x^2.

Passo 2

Para o termo integral xsin(x),dx, escolhemos u = x e dv = sin(x),dx. Então du = dx e v = -cos(x). Pela fórmula de partes:
integral xsin(x),dx = u,v - integral v,du = -xcos(x) - integral(-cos(x)),dx = -xcos(x) + integral cos(x),dx = -xcos(x) + sin(x)

Passo 3

Para o termo integral xcos(x^2),dx, fazemos a substituição t = x^2, logo dt = 2x,dx ou x,dx = dt2. Assim:
integral xcos(x^2),dx = 12integral cos(t),dt = 12sin(t) = 12sin(x^2)

Passo 4

Reunindo os resultados, a integral original fica
integral x[sin(x) - cos(x^2)],dx = l(-xcos(x) + sin(x)r) - 12sin(x^2) + C

Resposta

-xcos(x) + sin(x) - tfrac12sin(x^2) + C

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