Calcule a seguinte integral por:
(a) Substituição simples.
integral x raizx+3 d x

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a integral integral xraizx+3,dx usando o método de substituição simples. O conteúdo é técnicas de integração com mudança de variável e precisamos definir uma substituição adequada.

Passo 2

Definimos a variável auxiliar u = x + 3. Então temos du = dx, e como x = u - 3, podemos reescrever todo em termos de u.
Substituindo na integral obtemos integral xraizx+3,dx = integral (u - 3),u^1/2,du. Aqui usamos raizu = u^1/2.

Passo 3

Expandindo o integrando temos (u - 3)u^1/2 = u^3/2 - 3u^1/2. Agora aplicamos a regra de potência integral u^n,du = u^n+1n+1 para cada termo.
Calculando cada parte:
integral u^3/2,du = u^5/25/2 = 25u^5/2,
integral 3u^1/2,du = 3cdotu^3/23/2 = 2u^3/2
Assim, a integral em u é 25u^5/2 - 2u^3/2 + C.

Passo 4

Voltando à variável original u = x + 3, a resposta final é 25(x+3)^5/2 - 2(x+3)^3/2 + C.

Resposta

25(x+3)^5/2 - 2(x+3)^3/2 + C

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