Vamos resolver a integral usando o Método de Substituição Trigonométrica. Esse método é útil para integrar funções que envolvem expressões quadráticas dentro de uma raiz. Para isso, vamos precisar completar o quadrado na expressão dentro da raiz e então aplicar a substituição trigonométrica adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos completar o quadrado na expressão . Isso ajuda a simplificar a expressão e facilita a aplicação da substituição trigonométrica.
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, identificamos que a expressão dentro da raiz é da forma , onde e . Para integrar essa função, usamos a substituição trigonométrica adequada para esse tipo de expressão, que é:
Portanto, fazemos a substituição:
Passo 4
Vamos derivar essa substituição para encontrar em termos de :
Passo 5
Substituímos e na integral original:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto, a raiz se torna:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral:
Simplificando os termos:
Passo 7
A integral de é conhecida e resulta em:
Passo 8
Agora, precisamos voltar à variável original. Lembrando da nossa substituição inicial:
Podemos desenhar um triângulo retângulo para expressar em termos de :
Hipotenusa:
Cateto adjacente: 2
Cateto oposto:
Então,
Passo 9
Substituindo e na expressão da integral:
Podemos simplificar colocando em evidência dentro do logaritmo:
Como a constante já engloba constantes multiplicativas dentro do logaritmo, podemos omitir o denominador: