Calcule a seguinte integral por:
© Método de Substiuição trigonométricas
integral 1raizx^2+4 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral usando o Método de Substituição Trigonométrica. Esse método é útil para integrar funções que envolvem expressões quadráticas dentro de uma raiz. Para isso, vamos precisar completar o quadrado na expressão dentro da raiz e então aplicar a substituição trigonométrica adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado na expressão x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4 . Isso ajuda a simplificar a expressão e facilita a aplicação da substituição trigonométrica.
integral 1raiz(x + 2)^2 - 4 , dx
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, identificamos que a expressão dentro da raiz é da forma u = a sectheta , onde x + 2 = 2 sectheta e . Para integrar essa função, usamos a substituição trigonométrica adequada para esse tipo de expressão, que é:
Portanto, fazemos a substituição:

Passo 4

Vamos derivar essa substituição para encontrar ddtheta(x + 2) = ddtheta(2 sectheta) em termos de dxdtheta = 2 sectheta tantheta :
dx = 2 sectheta tantheta , dtheta

Passo 5

Substituímos integral 1raiz(2 sectheta)^2 - 4 cdot 2 sectheta tantheta , dtheta e (2 sectheta)^2 - 4 = 4 sec^2theta - 4 = 4 (sec^2theta - 1) = 4 tan^2theta na integral original:
raiz4 tan^2theta = 2 tantheta
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto, a raiz se torna:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral:
integral 12 tantheta cdot 2 sectheta tantheta , dtheta
Simplificando os termos:
integral sectheta , dtheta

Passo 7

A integral de integral sectheta , dtheta = ln |sectheta + tantheta| + C é conhecida e resulta em:

Passo 8

Agora, precisamos voltar à variável original x + 2 = 2 sectheta . Lembrando da nossa substituição inicial:
tantheta = raizx^2 + 4x2
Podemos desenhar um triângulo retângulo para expressar em termos de :
  • Hipotenusa:
  • Cateto adjacente: 2
  • Cateto oposto:
Então,

Passo 9

Substituindo ln |x + 22 + raizx^2 + 4x2| + C e ln |(x + 2) + raizx^2 + 4x2| + C na expressão da integral:
ln |x + 2 + raizx^2 + 4x| + C
Podemos simplificar colocando em evidência dentro do logaritmo:
Como a constante já engloba constantes multiplicativas dentro do logaritmo, podemos omitir o denominador:

Resposta

A integral é igual a .

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