Calcule a seguinte integral por:
(d) Método de frações parciais.
(d) Método de frações parciais.
Passo 1
A gente quer calcular
usando o método de frações parciais. O conteúdo aqui é decompor uma função racional em somas de termos mais simples e depois integrar cada um. Para isso vamos precisar fatorar o denominador, montar a decomposição
, achar
e integrar logaritmos.
Passo 2
Primeiro passo na prática: fatorar o denominador. Note que
Passo 3
Agora escrevemos
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
e igualamos polinômios:
Passo 5
Expandindo e coletando termos em potências de
, obtemos o sistema:
Passo 6
Da última equação vem
. Substituindo em
dá
e junto com
resulta em
e
.
Passo 7
Substituindo de volta, a integral fica
Passo 8
Agora integramos termo a termo, lembrando que
Resposta
-4\ln\lvert x\rvert + 7\ln\lvert x-1\rvert + 4\ln\lvert x+1\rvert + C