Calcule a seguinte integral por:
(d) Método de frações parciais.
integral 7 x^2+3 x+4x^3-x d x

Passo 1

A gente quer calcular integral 7x^2+3x+4x^3 - x ,dx usando o método de frações parciais. O conteúdo aqui é decompor uma função racional em somas de termos mais simples e depois integrar cada um. Para isso vamos precisar fatorar o denominador, montar a decomposição A/x + B/(x-1) + C/(x+1), achar A,B,C e integrar logaritmos.

Passo 2

Primeiro passo na prática: fatorar o denominador. Note que
x^3 - x = x,(x^2 - 1) = x,(x-1),(x+1)

Passo 3

Agora escrevemos
7x^2+3x+4x(x-1)(x+1) = Ax + Bx-1 + Cx+1

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x(x-1)(x+1) e igualamos polinômios:
7x^2+3x+4 = A(x-1)(x+1) + B,x(x+1) + C,x(x-1)

Passo 5

Expandindo e coletando termos em potências de x, obtemos o sistema:
A + B + C = 7,
B - C = 3,
-A = 4

Passo 6

Da última equação vem A = -4. Substituindo em A + B + C = 7 B + C = 11 e junto com B - C = 3 resulta em B = 7 e C = 4.

Passo 7

Substituindo de volta, a integral fica
integral l(-4x + 7x-1 + 4x+1r)dx

Passo 8

Agora integramos termo a termo, lembrando que
integral dxx-a = lnlvert x-arvert + C

Resposta

-4\ln\lvert x\rvert + 7\ln\lvert x-1\rvert + 4\ln\lvert x+1\rvert + C

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