Calcule a seguinte integral por:
© Método de Substiuição trigonométricas
integral raizx^2-a^2x^4 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral raizx^2-a^2x^4 , dx usando o método de Substituição Trigonométrica. Esse método é útil quando temos expressões que envolvem raízes quadradas de polinômios quadráticos, como raizx^2-a^2. Precisamos utilizar identidades trigonométricas para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, fazemos uma substituição trigonométrica adequada. Como temos raizx^2 - a^2, usamos a substituição:
x = a sec theta
Essa substituição é útil porque sec^2 theta - 1 = tan^2 theta, o que simplifica a expressão dentro da raiz.

Passo 3

Calculamos dx em termos de theta:
dx = a sec theta tan theta , dtheta

Passo 4

Substituímos x e dx na integral original:
integral raiz(a sec theta)^2 - a^2(a sec theta)^4 cdot a sec theta tan theta , dtheta
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
raiza^2 sec^2 theta - a^2 = raiza^2 (sec^2 theta - 1) = raiza^2 tan^2 theta = a tan theta

Passo 5

Substituímos na integral:
integral a tan thetaa^4 sec^4 theta cdot a sec theta tan theta , dtheta = integral a tan theta cdot a sec theta tan thetaa^4 sec^4 theta , dtheta
Simplificamos os termos:
integral a^2 tan^2 theta sec thetaa^4 sec^4 theta , dtheta = integral tan^2 thetaa^2 sec^3 theta , dtheta
Como tan theta = sin thetacos theta e sec theta = 1cos theta, podemos reescrever:
integral sin^2 thetacos^2 thetaa^2 cdot 1cos^3 theta , dtheta = integral sin^2 theta cos^3 thetaa^2 cos^2 theta , dtheta = integral sin^2 theta cos thetaa^2 , dtheta

Passo 6

Simplificamos a constante fora da integral:
1a^2 integral sin^2 theta cos theta , dtheta
Fazemos uma substituição adicional: seja u = sin theta, então du = cos theta , dtheta.

Passo 7

Substituindo na integral:
1a^2 integral u^2 , du = 1a^2 cdot u^33 + C = sin^3 theta3 a^2 + C

Passo 8

Voltamos à variável original x usando a substituição x = a sec theta. Sabemos que sec theta = xa e tan theta = raizsec^2 theta - 1 = raizx^2a^2 - 1 = raizx^2 - a^2a. Além disso, sin theta = tan thetaraiz1 + tan^2 theta = raizx^2 - a^2/ax/a = raizx^2 - a^2x.
Então:
sin^3 theta3 a^2 = ( raizx^2 - a^2x )^33 a^2 = (x^2 - a^2)^3/23 a^2 x^3

Resposta

A integral é igual a (x^2 - a^2)^3/23 a^2 x^3 + C, onde C é a constante de integração.

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