Calcule a seguinte integral por:
© Método de Substiuição trigonométricas
© Método de Substiuição trigonométricas
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o Método de Substituição Trigonométrica. Esse método é útil quando temos integrais que envolvem expressões quadráticas como
. Vamos precisar usar identidades trigonométricas e fazer uma substituição que simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que a expressão no denominador,
, se parece com
, onde
. Para usar a substituição trigonométrica adequada, fazemos:
Essa substituição simplifica a expressão
usando a identidade trigonométrica
.
Passo 3
Calculamos a derivada de
em relação a
para substituir
:
Agora, substituímos
e
na integral original.
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Simplificamos o denominador:
Então, a integral fica:
Passo 5
Simplificamos a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral se torna:
Passo 6
Sabemos que a integral de
é
. Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, voltamos à variável original
. Lembrando que
, podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
- O cateto oposto a
é - A hipotenusa é
- O cateto adjacente é
Então,
Resposta
A integral vale: