Calcule a seguinte integral por:
© Método de Substiuição trigonométricas
integral 1(4-x^2)^3 / 2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 1(4-x^2)^3 / 2 dx usando o Método de Substituição Trigonométrica. Esse método é útil quando temos integrais que envolvem expressões quadráticas como a^2 - x^2. Vamos precisar usar identidades trigonométricas e fazer uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que a expressão no denominador, 4 - x^2, se parece com a^2 - x^2, onde a = 2. Para usar a substituição trigonométrica adequada, fazemos:
x = 2 sin theta
Essa substituição simplifica a expressão 4 - x^2 usando a identidade trigonométrica sin^2 theta + cos^2 theta = 1.

Passo 3

Calculamos a derivada de x em relação a theta para substituir dx:
dx = 2 cos theta , dtheta
Agora, substituímos x e dx na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral 1(4 - (2 sin theta)^2)^3/2 cdot 2 cos theta , dtheta = integral 1(4 - 4 sin^2 theta)^3/2 cdot 2 cos theta , dtheta
Simplificamos o denominador:
4 - 4 sin^2 theta = 4(1 - sin^2 theta) = 4 cos^2 theta
Então, a integral fica:
integral 2 cos theta(4 cos^2 theta)^3/2 , dtheta

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da integral:
(4 cos^2 theta)^3/2 = 4^3/2 cos^3 theta = 8 cos^3 theta
Portanto, a integral se torna:
integral 2 cos theta8 cos^3 theta , dtheta = integral 28 cos^2 theta , dtheta = 14 integral sec^2 theta , dtheta

Passo 6

Sabemos que a integral de sec^2 theta é tan theta. Então:
14 integral sec^2 theta , dtheta = 14 tan theta + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos à variável original x. Lembrando que x = 2 sin theta, podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
  • O cateto oposto a theta é x = 2 sin theta
  • A hipotenusa é 2
  • O cateto adjacente é raiz4 - x^2
Então,
tan theta = opostoadjacente = xraiz4 - x^2

Resposta

A integral vale:
14 cdot xraiz4 - x^2 + C

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