Calcule a seguinte integral definida utilizando integração por partes.
integral0^pi e^x cdot cos (x) cdot d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de $ e^{x} \cdot \cos(x) $ de 0 a $ \pi $ usando a técnica de integração por partes. Pra isso, precisamos entender como essa técnica funciona e identificar quais partes da nossa função vamos usar nela.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher $ u u dv $ de forma que a integral fique mais fácil de resolver depois. Vamos definir:
  • $ u = e^{x} $ (porque sua derivada é simples)
  • $ dv = \cos(x) , dx $

Passo 3

Agora, vamos calcular $ du du v $:
v
du = ddx e^x , dx = e^x , dx

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral e^x cos(x) , dx = e^x sin(x) - integral sin(x) e^x , dx
Agora, precisamos resolver a nova integral $ \int e^{x} \sin(x) , dx $.

Passo 5

Para resolver $ \int e^{x} \sin(x) , dx $, vamos usar novamente a integração por partes. Dessa vez, escolhemos:
  • $ u = e^{x} $
  • $ dv = \sin(x) , dx $

Passo 6

Calculando $ du $ e $ v $:
du
v

Passo 7

Aplicando a integração por partes novamente:
integral e^x sin(x) , dx = -e^x cos(x) + integral e^x cos(x) , dx

Passo 8

Agora, substituímos essa expressão na equação anterior:
integral e^x cos(x) , dx = e^x sin(x) - ( -e^x cos(x) + integral e^x cos(x) , dx )
Simplificando:
integral e^x cos(x) , dx = e^x sin(x) + e^x cos(x) - integral e^x cos(x) , dx

Passo 9

Agora, somamos $ \int e^{x} \cos(x) , dx $ de ambos os lados para isolar a integral:
integral e^x cos(x) , dx
Dividindo por 2:
2 integral e^x cos(x) , dx = e^x (sin(x) + cos(x))

Passo 10

Como estamos calculando uma integral definida de 0 a $ \pi $, aplicamos os limites:
pi
Sabendo que $ \sin(\pi) = 0 $, $ \cos(\pi) = -1 $, $ \sin(0) = 0 $ e $ \cos(0) = 1 $:
e^x (sin(x) + cos(x))2 |0^pi = e^pi (sin(pi) + cos(pi))2 - e^0 (sin(0) + cos(0))2

Resposta

A integral vale $ -\frac{e^{\pi} + 1}{2} $.

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