Calcule a seguinte integral definida utilizando integração por partes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida de $ e^{x} \cdot \cos(x) $ de 0 a $ \pi $ usando a técnica de integração por partes. Pra isso, precisamos entender como essa técnica funciona e identificar quais partes da nossa função vamos usar nela.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher $ u
dv $ de forma que a integral fique mais fácil de resolver depois. Vamos definir:
- $ u = e^{x} $ (porque sua derivada é simples)
- $ dv = \cos(x) , dx $
Passo 3
Agora, vamos calcular $ du
v $:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Agora, precisamos resolver a nova integral $ \int e^{x} \sin(x) , dx $.
Passo 5
Para resolver $ \int e^{x} \sin(x) , dx $, vamos usar novamente a integração por partes. Dessa vez, escolhemos:
- $ u = e^{x} $
- $ dv = \sin(x) , dx $
Passo 6
Calculando $ du $ e $ v $:
Passo 7
Aplicando a integração por partes novamente:
Passo 8
Agora, substituímos essa expressão na equação anterior:
Simplificando:
Passo 9
Agora, somamos $ \int e^{x} \cos(x) , dx $ de ambos os lados para isolar a integral:
Dividindo por 2:
Passo 10
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a $ \pi $, aplicamos os limites:
Sabendo que $ \sin(\pi) = 0 $, $ \cos(\pi) = -1 $, $ \sin(0) = 0 $ e $ \cos(0) = 1 $:
Resposta
A integral vale $ -\frac{e^{\pi} + 1}{2} $.