(2EE-2017.2) Calcule os seguintes limites (caso existam). Deve identificar a indeterminação.
b. lim x 0 2 x arctg(x)-ln (x^2+1)x^2.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite . Isso é um problema de limites de funções e vamos precisar identificar a indeterminação e usar a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Substituindo x=0 na expressão, o numerador fica e o denominador é 2cdot0cdotarctg(0)-ln(1+0^2)=0-0=0, portanto temos indeterminação do tipo 0^2=0.

Passo 3

Como encontramos 00, podemos aplicar a regra de l’Hôpital. Chamando o numerador de e o denominador de f(x)=2xarctg(x)-ln(1+x^2), calculamos a derivada do numerador:

Passo 4

Derivando o denominador temos g'(x)=2x. Assim o limite vira

Passo 5

Sabemos pela expansão de Taylor (ou limite padrão) que quando arctg(x)sim x, logo .

Resposta

1

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