Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema usando a Transformada de Laplace. O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem $ y’’ - y’ = e^{t} \cos(t) $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $. Para isso, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nas duas partes da equação e usar as propriedades das transformadas para simplificar e encontrar $ Y(s) $, que é a transformada de $ y(t) $. Depois, faremos a transformada inversa para encontrar a solução no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de $ y’’(t) $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $ e a de $ y’(t) $ é $ s Y(s) - y(0) $. Aplicando isso:
Substituindo as transformadas:
Simplificando:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a transformada de $ e^{t} \cos(t) $. Sabemos que:
No nosso caso, $ a = 1 $ e $ b = 1 $, então:
Passo 4
Substituindo essa transformada na equação que tínhamos:
Vamos fatorar $ Y(s) $ do lado esquerdo:
Para isolar $ Y(s) $, dividimos ambos os lados por $ s^2 - s $:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão de $ Y(s) $. Primeiro, factoramos o denominador:
Então, temos:
Passo 6
Agora, para encontrar $ y(t) $, precisamos fazer a transformada inversa de $ Y(s) $. Vamos reescrever $ Y(s) $ de uma forma que facilite a aplicação da transformada inversa:
Reconhecemos que isso se parece com a convolução de duas funções transformadas. Porém, vamos usar frações parciais para simplificar. Vamos expressar $ Y(s) $ como:
Multiplicando ambos os lados por $ s[(s - 1)^2 + 1] $:
Expandindo e igualando os coeficientes:
Para $ s^2 $:
Para $ s $:
Para termos constantes:
Então, temos:
Passo 7
Finalmente, aplicamos a transformada inversa. Sabemos que:
No nosso caso, $ a = 1 $ e $ b = 1 $, então:
Resposta
A solução da equação diferencial é $ y(t) = e^{t} \sin(t) $.