Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial abaixo
y^prime prime-y^prime=e^t cos (t) ; y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema usando a Transformada de Laplace. O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem $ y’’ - y’ = e^{t} \cos(t) $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $. Para isso, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nas duas partes da equação e usar as propriedades das transformadas para simplificar e encontrar $ Y(s) $, que é a transformada de $ y(t) $. Depois, faremos a transformada inversa para encontrar a solução no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de $ y’’(t) $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $ e a de $ y’(t) $ é $ s Y(s) - y(0) $. Aplicando isso:
y''(t)
Substituindo as transformadas:
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Simplificando:
y'(t)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a transformada de $ e^{t} \cos(t) $. Sabemos que:
e^t cos(t)
No nosso caso, $ a = 1 $ e $ b = 1 $, então:
Le^at cos(bt) = s - a(s - a)^2 + b^2

Passo 4

Substituindo essa transformada na equação que tínhamos:
s^2 Y(s) - s Y(s) = s - 1(s - 1)^2 + 1
Vamos fatorar $ Y(s) $ do lado esquerdo:
Y(s)
Para isolar $ Y(s) $, dividimos ambos os lados por $ s^2 - s $:
Y(s) (s^2 - s) = s - 1(s - 1)^2 + 1

Passo 5

Vamos simplificar a expressão de $ Y(s) $. Primeiro, factoramos o denominador:
Y(s)
Então, temos:
s^2 - s = s(s - 1)

Passo 6

Agora, para encontrar $ y(t) $, precisamos fazer a transformada inversa de $ Y(s) $. Vamos reescrever $ Y(s) $ de uma forma que facilite a aplicação da transformada inversa:
y(t)
Reconhecemos que isso se parece com a convolução de duas funções transformadas. Porém, vamos usar frações parciais para simplificar. Vamos expressar $ Y(s) $ como:
Y(s)
Multiplicando ambos os lados por $ s[(s - 1)^2 + 1] $:
Y(s)
Expandindo e igualando os coeficientes:
Para $ s^2 $:
Y(s) = 1s [(s - 1)^2 + 1]
Para $ s $:
Y(s)
Para termos constantes:
Y(s) = As + B(s - 1) + C(s - 1)^2 + 1
Então, temos:
s[(s - 1)^2 + 1]

Passo 7

Finalmente, aplicamos a transformada inversa. Sabemos que:
L^-11(s - a)^2 + b^2 = e^a t sin(b t)b
No nosso caso, $ a = 1 $ e $ b = 1 $, então:
a = 1

Resposta

A solução da equação diferencial é $ y(t) = e^{t} \sin(t) $.

Exercícios relacionados