Obtenha o gráfico das seguintes funções usando transformações e indique qual é a imagem da função. Indique também em quais intervalos a função é crescente, e onde é descrescente. Também encontre os máximos e mínimos da função se tiver.
Passo 1
Nesta questão temos a função f(x)=|x³|−3. O conteúdo envolve transformações de funções (valor absoluto e translação) e estudo de monotonicidade e extremos.
Passo 2
Para lidar com o valor absoluto, reescrevemos f de forma piecewise. Como |x³|=(|x|)³, temos
f(x)=x³-3,&x>=0,-x³-3,&x<0 ³³
Isso segue da definição de valor absoluto: se x³≥0 (i.e. x≥0), |x³|=x³; se x<0, |x³|=-x³.
Passo 3
Para obter o gráfico via transformações, seguimos estes passos: começamos com y=x³; construímos y=|x³| refletindo a parte negativa de y=x³ acima do eixo x; por fim, aplicamos uma translação vertical de −3, baixando todo o gráfico em 3 unidades.
Passo 4
Agora estudamos a monotonicidade usando derivadas piecewise. Para x>0 temos
$$
f’(x)=3x²>0, f'(x)=3x²>0,é
f’(x)=-3x²<0,$$
e f é decrescente em (−∞,0). Em x=0 as derivadas laterais valem zero, indicando mudança de decrescente para crescente.
Passo 5
O único ponto crítico é x=0, onde f(0)=−3. Como f→+∞ quando x→±∞ e não há outros pontos críticos, concluímos que (0,−3) é um mínimo global. Não há máximos finitos.
Passo 6
A imagem da função (o conjunto de valores de f) é [−3,∞).
Resposta
A imagem de f é [−3,∞). A função é decrescente em (−∞,0) e crescente em (0,∞). Possui um único mínimo em (0,−3) e não possui máximos.