Calcule a seguinte integral dupla.
integral duplaD y d A, D=(x, y) in R^2: x^2+4 y^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você nos pediu para calcular a integral dupla integral duplaD y , dA, onde a região D é definida por x^2 + 4y^2 <= 1. Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas em geometria analítica. Para resolver, vamos precisar entender como configurar a integral sobre uma região elíptica e aplicar princípios de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região D. A equação x^2 + 4y^2 <= 1 representa uma elipse centrada na origem (0,0). Os coeficientes dos termos de x e y indicam os comprimentos dos eixos da elipse. Aqui, o eixo x tem raio 1 e o eixo y tem raio 12.

Passo 3

Agora, precisamos configurar a integral dupla para essa região. Em coordenadas cartesianas, a integral seria:
integral duplaD y , dA = integral-1^1 integral-12raiz1 - x^2^12raiz1 - x^2 y , dy , dx
Isso porque, para cada valor de x entre -1 e 1, y varia de -12raiz1 - x^2 até 12raiz1 - x^2.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a y primeiro:
integral-12raiz1 - x^2^12raiz1 - x^2 y , dy
A antiderivada de y é 12y^2, então substituindo os limites:
[ 12y^2 ]-12raiz1 - x^2^12raiz1 - x^2 = 12 ( ( 12raiz1 - x^2 )^2 - ( -12raiz1 - x^2 )^2 )
Simplificando:
12 ( 14(1 - x^2) - 14(1 - x^2) ) = 12 times 0 = 0

Passo 5

Isso significa que, para qualquer valor de x, a integral interna resulta em 0. Portanto, a integral dupla toda será:
integral-1^1 0 , dx = 0

Resposta

A integral dupla integral duplaD y , dA vale 0.

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