Calcule a seguinte integral dupla.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você nos pediu para calcular a integral dupla
, onde a região
é definida por
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas em geometria analítica. Para resolver, vamos precisar entender como configurar a integral sobre uma região elíptica e aplicar princípios de simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. A equação
representa uma elipse centrada na origem
. Os coeficientes dos termos de
e
indicam os comprimentos dos eixos da elipse. Aqui, o eixo
tem raio
e o eixo
tem raio
.
Passo 3
Agora, precisamos configurar a integral dupla para essa região. Em coordenadas cartesianas, a integral seria:
Isso porque, para cada valor de
entre
e
,
varia de
até
.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro:
A antiderivada de
é
, então substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 5
Isso significa que, para qualquer valor de
, a integral interna resulta em
. Portanto, a integral dupla toda será:
Resposta
A integral dupla
vale 0.