Encontre a solução geral da EDO de primeira ordem, t y^prime+2 y=cos (t), t>0. Qual o comportamento das curvas soluções quanto t +infty.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é para . A matéria aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear, que é y^prime + 2t y = cos(t)t . Para isso, dividimos todos os termos por :
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral 2t dt = e^2 ln t = t^2 , que é dado por:
Explicando, o fator integrante é uma função que, quando multiplicada pela equação original, transforma o lado esquerdo em uma derivada de um produto.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante t^2 y^prime + 2 t y = t^2 cdot cos(t)t Rightarrow t^2 y^prime + 2 t y = t cos(t) :
ddt(t^2 y) = t cos(t)
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada de :

Passo 5

Integramos ambos os lados da equação com relação a integral ddt(t^2 y) dt = integral t cos(t) dt :
t^2 y = integral t cos(t) dt + C
Isso simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Para resolver u = t Rightarrow du = dt , usamos a integração por partes. Vamos definir:
dv = cos(t) dt Rightarrow v = sin(t)
integral t cos(t) dt = t sin(t) - integral sin(t) dt = t sin(t) + cos(t) + C
Aplicando a fórmula da integração por partes :

Passo 7

Substituímos esse resultado de volta na equação:
t^2 y = t sin(t) + cos(t) + C
Para isolar y = t sin(t) + cos(t) + Ct^2 = sin(t)t + cos(t)t^2 + Ct^2 , dividimos tudo por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = sin(t)t + cos(t)t^2 + Ct^2
Quanto tende para , todas as parcelas da solução tendem a zero. Portanto, as curvas soluções se aproximam de zero quando .

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