Encontre a solução geral da EDO de primeira ordem,
. Qual o comportamento das curvas soluções quanto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é
para
. A matéria aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear, que é
. Para isso, dividimos todos os termos por
:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Explicando, o fator integrante é uma função que, quando multiplicada pela equação original, transforma o lado esquerdo em uma derivada de um produto.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada de
:
Passo 5
Integramos ambos os lados da equação com relação a
:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para resolver
, usamos a integração por partes. Vamos definir:
Aplicando a fórmula da integração por partes
:
Passo 7
Substituímos esse resultado de volta na equação:
Para isolar
, dividimos tudo por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Quanto
tende para
, todas as parcelas da solução tendem a zero. Portanto, as curvas soluções se aproximam de zero quando
.