Resolva o problema de valor inicial,
Passo 1
Beleza! A gente tem um problema de valor inicial pra resolver:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Pra resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante. Então, bora lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação diferencial. A equação está no formato padrão:
Onde:
Passo 3
Agora, a gente precisa encontrar o fator integrante, que é uma função que vai ajudar a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular isso:
Passo 4
Com o fator integrante encontrado, multiplicamos toda a equação original por
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, a equação fica:
Isso porque a multiplicação pelo fator integrante transforma a equação num formato que é a derivada de
.
Passo 6
Para achar
, integramos ambos os lados da equação:
Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos calcular a integral
. Para isso, usamos integração por partes, onde:
-
então -
então
Aplicando integração por partes:
Multiplicando por 3:
Passo 8
Voltando à equação:
Como
, temos:
Passo 9
Dividindo tudo por
pra isolar
:
Passo 10
Agora, aplicamos a condição inicial
pra achar a constante
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A solução da equação diferencial é: