Resolva o problema de valor inicial,
y^prime+1x y=3 cos (2 x), onde y(pi)=0, forall x>0

Passo 1

Beleza! A gente tem um problema de valor inicial pra resolver:
y' + 1x y = 3 cos(2x), y(pi) = 0, forall x >0
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Pra resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante. Então, bora lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação diferencial. A equação está no formato padrão:
y' + P(x) y = Q(x)
Onde:

Passo 3

Agora, a gente precisa encontrar o fator integrante, que é uma função que vai ajudar a simplificar a equação. O fator integrante mu(x) = e^integral P(x) dx é dado por:
mu(x) = e^integral 1x dx = e^ln|x| = x
Vamos calcular isso:

Passo 4

Com o fator integrante encontrado, multiplicamos toda a equação original por x y' + x cdot 1x y = x cdot 3 cos(2x) :
x y' + y = 3x cos(2x)
Simplificando:

Passo 5

Agora, a equação fica:
ddx [mu(x) y] = 3x cos(2x)
Isso porque a multiplicação pelo fator integrante transforma a equação num formato que é a derivada de .

Passo 6

Para achar integral d(mu(x) y) = integral 3x cos(2x) dx , integramos ambos os lados da equação:
mu(x) y = integral 3x cos(2x) dx + C
Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos calcular a integral integral x cos(2x) dx = x2 sin(2x) - integral 12 sin(2x) dx = x2 sin(2x) + 14 cos(2x) + C . Para isso, usamos integração por partes, onde:
  • integral 3x cos(2x) dx = 3x2 sin(2x) + 34 cos(2x) + C então
  • então
Aplicando integração por partes:
Multiplicando por 3:

Passo 8

Voltando à equação:
mu(x) y = 3x2 sin(2x) + 34 cos(2x) + C
Como x y = 3x2 sin(2x) + 34 cos(2x) + C , temos:

Passo 9

Dividindo tudo por y = 32 sin(2x) + 34x cos(2x) + Cx pra isolar :

Passo 10

Agora, aplicamos a condição inicial 0 = 32 sin(2pi) + 34pi cos(2pi) + Cpi pra achar a constante 0 = 0 + 34pi + Cpi Rightarrow Cpi = -34pi Rightarrow C = -34 :
Sabemos que e , então:

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = 32 sin(2x) + 34x cos(2x) - 34x

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