O enunciado pede para calcular a integral dupla , onde é a região do disco de raio sujeita às restrições e . Vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração em uma região circular.
Passo 2
Em coordenadas polares, fazemos a mudança , e o elemento de área fica .
Precisamos identificar os limites para e . Como , temos . A condição limita a e equivale a , ou seja . Logo, vai de até .
Passo 3
Escrevendo a integral em coordenadas polares, temos:
Primeiro integramos em :
A integral reduz-se a
integral-pi2^pi4 costhetasintheta,dtheta
Para calcular essa integral, usamos a substituição u=sintheta, du=costheta,dtheta. Assim
integral costhetasintheta,dtheta = 12sin^2theta + C