Calcule a seguinte integral dupla.
integral duplaD x y d A, D=(x, y) in R^2: x^2+y^2 <= 2, y <= x e x >= 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaD x y,dA, onde D é a região do disco de raio raiz2 sujeita às restrições x>=0 e y<= x. Vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração em uma região circular.

Passo 2

Em coordenadas polares, fazemos a mudança x = rcostheta, y = rsintheta e o elemento de área fica dA = r,dr,dtheta.
Precisamos identificar os limites para r e theta. Como x^2+y^2<=2, temos 0<= r<=raiz2. A condição x>=0 limita theta a [-tfracpi2,tfracpi2] e y<= x equivale a tantheta<=1, ou seja theta<=tfracpi4. Logo, theta vai de -tfracpi2 até tfracpi4.

Passo 3

Escrevendo a integral em coordenadas polares, temos:
integral duplaD x y,dA = integral-pi2^pi4 integral0^raiz2 (rcostheta)(rsintheta) ,r,dr,dtheta = integral-pi2^pi4 integral0^raiz2 r^3costhetasintheta ,dr,dtheta
Primeiro integramos em r:
integral0^raiz2 r^3,dr = r^44|0^raiz2 = (raiz2)^44 = 1
A integral reduz-se a
integral-pi2^pi4 costhetasintheta,dtheta
Para calcular essa integral, usamos a substituição u=sintheta, du=costheta,dtheta. Assim
integral costhetasintheta,dtheta = 12sin^2theta + C
Avaliando de -tfracpi2 a tfracpi4, temos:
12l(sin^2tfracpi4 - sin^2(-tfracpi2)r) = 12l(tfrac12 - 1r) = -14

Resposta

-\tfrac{1}{4}

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