Calcule a seguinte integral
passando-a para coordenadas polares, sendo
a região do primeiro quadrante, limitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região do primeiro quadrante limitada por
,
,
e
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A região está no primeiro quadrante, então
e . - As retas
e determinam limites angulares. - As curvas
(círculo de raio ) e (hipérbole) determinam limites radiais. - A integranda contém
, então devemos garantir na região considerada (o que ocorre no primeiro quadrante enquanto ).
Passo 2
Passo didático: usar coordenadas polares. Lembre o básico das coordenadas polares:
-
, -
, -
, - e o elemento de área transforma como
(o fator é o jacobiano da mudança de variáveis).
Explicando o jacobiano de forma simples: quando você troca para coordenadas polares, um pequeno retângulo em
tem área aproximada
(porque o arco correspondente a
tem comprimento
). Por isso aparece o fator
.
Passo 3
Traduzir as curvas que delimitam
para polares:
-
corresponde a . -
tem razão . Como , isso dá . -
vira , ou seja (positivo). -
vira , portanto
onde usamos a raiz positiva porque
. Observação: na faixa
temos
e
, então essa transformação é válida e
é real positivo.
Portanto, em polares a região
é
Passo 4
Converter a integranda para polares. Substituímos
e
:
- O numerador
. - O denominador tem
e .
Assim
Multiplicando pelo jacobiano
temos o integrando em polares:
Perceba a vantagem: o
cancela e o integrando fica independente de
!
Passo 5
Agora escrevemos a integral em polares com os limites obtidos:
Como o integrando não depende de
, a integração em
é direta:
Simplificando:
e
Portanto a integral reduz-se a
Passo 6
Calcular as primitivas termo a termo:
- Para
, faça , , então
- Para
, note que é conveniente fazer , então ou . Assim
Voltando a
,
Mas observe que no integrando original aparecia um sinal negativo: o segundo termo é
, portanto sua primitiva é
Somando as duas primitivas encontramos uma primitiva da integrand total:
Passo 7
Avaliar
em
e
:
- Em
: , , , e . Assim
- Em
: , , , . Logo
Subtraindo,
Fatorando
: