Seja B a região determinada por x^{2}+y^{2} \leq 2 y, x \geq 0. Expresse a integral \iint_{B} x d x d y em coordenadas polares e calcule-a.

Passo 1

O enunciado pede para expressar a integral dupla
\iint_{B} x\,dx\,dy
em coordenadas polares e calculá‑la, onde a região B é dada por
x^{2}+y^{2} \leq 2y,\qquad x \geq 0.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A desigualdade x^{2}+y^{2} \leq 2y define uma região circular (vou transformar para ver centro e raio).
  • A condição x\geq 0 restringe essa região ao semiplano da direita.
  • Queremos trocar para coordenadas polares e calcular a integral explícita.

Passo 2

Identifico a curva x^{2}+y^{2}=2y completando quadrado em y. Fazendo
x^{2}+y^{2}-2y=0 \implies x^{2}+(y-1)^{2}=1.
Logo a curva é um círculo de centro (0,1) e raio 1. A desigualdade x^{2}+y^{2}\leq 2y é o interior (e contorno) desse círculo. Como o círculo vai de y=0 até y=2 e tem simetria em x, com a condição adicional x\geq 0 ficamos com o semicírculo direito (metade do disco) centrado em (0,1), raio 1.

Passo 3

Lembrete das fórmulas de coordenadas polares e do jacobiano (aula rápida):
  • Em coordenadas polares usamos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
  • A transformação de variáveis tem jacobiano r, ou seja
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
  • Portanto o integrando x\,dx\,dy vira (r\cos\theta)\cdot r\,dr\,d\theta = r^{2}\cos\theta\,dr\,d\theta.
    Isto é fundamental: multiplicamos pelo fator r que aparece por causa da mudança de área em coordenadas polares.

Passo 4

Agora descrevo a região B em polares. Substituo x^{2}+y^{2}=r^{2} e y=r\sin\theta na desigualdade:
r^{2}\le 2r\sin\theta.
Para r\ge 0 isto equivale a
r \le 2\sin\theta,
desde que 2\sin\theta\ge 0. Assim precisamos de \sin\theta\ge 0, o que significa \theta\in[0,\pi]. Além disso temos a condição x\ge 0, isto é \cos\theta\ge 0, que implica \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]. A interseção dessas duas condições é
\theta\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right].
Portanto, para cada \theta em [0,\tfrac{\pi}{2}] temos r variando de 0 até 2\sin\theta. Em resumo:
0\le r\le 2\sin\theta,\qquad 0\le\theta\le \tfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Escrevo então a integral em coordenadas polares usando o integrando transformado e os limites obtidos:
\iint_{B} x\,dx\,dy \;=\; \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{2\sin\theta} r^{2}\cos\theta \;dr\,d\theta.
Aqui expliquei antes que r^{2}\cos\theta vem de x\,dx\,dy=(r\cos\theta)(r\,dr\,d\theta).

Passo 6

Faço a integral interna em r. Como \cos\theta é constante em relação a r,
\int_{r=0}^{2\sin\theta} r^{2}\cos\theta \;dr = \cos\theta \int_{0}^{2\sin\theta} r^{2}\,dr = \cos\theta\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{2\sin\theta} = \cos\theta\cdot\frac{(2\sin\theta)^{3}}{3}.
Calculo (2\sin\theta)^{3}=8\sin^{3}\theta. Assim a integral interna vale
\frac{8}{3}\sin^{3}\theta\cos\theta.

Passo 7

Agora a integral fica em \theta somente:
\iint_{B} x\,dx\,dy = \int_{0}^{\pi/2} \frac{8}{3}\sin^{3}\theta\cos\theta \;d\theta.
Faço a substituição simples u=\sin\theta. Então du=\cos\theta\,d\theta. Quando \theta=0 temos u=0; quando \theta=\tfrac{\pi}{2} temos u=1. Assim
\int_{0}^{\pi/2} \sin^{3}\theta\cos\theta \;d\theta = \int_{u=0}^{1} u^{3}\,du = \left[\frac{u^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
Multiplicando pelo fator \frac{8}{3} obtemos
\iint_{B} x\,dx\,dy = \frac{8}{3}\cdot\frac{1}{4} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}.

Passo 8

Resumo final do procedimento (rápido checape): transformei a desigualdade do disco para polares obtendo r\le 2\sin\theta, determinei o intervalo angular \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] por causa de \sin\theta\ge0 e \cos\theta\ge0, troquei o integrando por r^{2}\cos\theta incluindo o jacobiano, integrei primeiro em r e depois em \theta com a substituição u=\sin\theta. Cheguei ao valor numérico abaixo.

Resposta

\dfrac{2}{3}

Exercícios relacionados