Seja B a região determinada por
. Expresse a integral
em coordenadas polares e calcule-a.
Passo 1
O enunciado pede para expressar a integral dupla
em coordenadas polares e calculá‑la, onde a região
é dada por
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A desigualdade
define uma região circular (vou transformar para ver centro e raio). - A condição
restringe essa região ao semiplano da direita. - Queremos trocar para coordenadas polares e calcular a integral explícita.
Passo 2
Identifico a curva
completando quadrado em
. Fazendo
Logo a curva é um círculo de centro
e raio
. A desigualdade
é o interior (e contorno) desse círculo. Como o círculo vai de
até
e tem simetria em
, com a condição adicional
ficamos com o semicírculo direito (metade do disco) centrado em
, raio
.
Passo 3
Lembrete das fórmulas de coordenadas polares e do jacobiano (aula rápida):
- Em coordenadas polares usamos
onde
é a distância à origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo.
- A transformação de variáveis tem jacobiano
, ou seja
- Portanto o integrando
vira
Isto é fundamental: multiplicamos pelo fatorque aparece por causa da mudança de área em coordenadas polares.
Passo 4
Agora descrevo a região
em polares. Substituo
e
na desigualdade:
Para
isto equivale a
desde que
. Assim precisamos de
, o que significa
. Além disso temos a condição
, isto é
, que implica
. A interseção dessas duas condições é
Portanto, para cada
em
temos
variando de
até
. Em resumo:
Passo 5
Escrevo então a integral em coordenadas polares usando o integrando transformado e os limites obtidos:
Aqui expliquei antes que
vem de
.
Passo 6
Faço a integral interna em
. Como
é constante em relação a
,
Calculo
. Assim a integral interna vale
Passo 7
Agora a integral fica em
somente:
Faço a substituição simples
. Então
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
Multiplicando pelo fator
obtemos
Passo 8
Resumo final do procedimento (rápido checape): transformei a desigualdade do disco para polares obtendo
, determinei o intervalo angular
por causa de
e
, troquei o integrando por
incluindo o jacobiano, integrei primeiro em
e depois em
com a substituição
. Cheguei ao valor numérico abaixo.