Calcule a seguinte integral indefinida:
integral x^2+1x d x, x>0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a gente tem aqui e o que precisamos fazer. A questão é calcular a integral indefinida de x^2 + 1x em relação a x, onde x > 0. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente à integração de funções racionais. Para resolver essa integral, vamos precisar simplificar a expressão e aplicar regras básicas de integração.

Passo 2

A primeira coisa que podemos fazer para simplificar a integral é dividir cada termo do numerador pelo denominador. Isso fica assim:
x^2+1x = x^2x + 1x = x + 1x
Então, nossa integral fica:
integral ( x + 1x ) dx

Passo 3

Agora, vamos relembrar que a integral de uma soma é igual à soma das integrais. Ou seja,
integral ( x + 1x ) dx = integral x, dx + integral 1x dx

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro, a integral de x , dx. Sabemos que a integral de x^n é x^n+1n+1 quando n neq -1. Aqui, n = 1, então:
integral x, dx = x^22

Passo 5

Agora, vamos integrar 1x dx. A integral de 1x é o logaritmo natural de x, ou seja:
integral 1x dx = ln|x|
Como x > 0, podemos escrever simplesmente ln x.

Passo 6

Agora, juntando as duas integrais que calculamos, temos:
integral x^2+1x dx = x^22 + ln x + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:
x^22 + ln x + C

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