Calcule a seguinte integral indefinida:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a gente tem aqui e o que precisamos fazer. A questão é calcular a integral indefinida de
em relação a
, onde
. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente à integração de funções racionais. Para resolver essa integral, vamos precisar simplificar a expressão e aplicar regras básicas de integração.
Passo 2
A primeira coisa que podemos fazer para simplificar a integral é dividir cada termo do numerador pelo denominador. Isso fica assim:
Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos relembrar que a integral de uma soma é igual à soma das integrais. Ou seja,
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro, a integral de
. Sabemos que a integral de
é
quando
. Aqui,
, então:
Passo 5
Agora, vamos integrar
. A integral de
é o logaritmo natural de
, ou seja:
Como
, podemos escrever simplesmente
.
Passo 6
Agora, juntando as duas integrais que calculamos, temos:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral indefinida é: