Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar a solução geral da equação diferencial vetorial $ \mathbf{X}’ = A \mathbf{X} $, onde $ A $ é uma matriz 3x3 específica. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares com matrizes, e para resolver isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores da matriz $ A $.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz $ A $. Os autovalores $ \lambda $ são encontrados resolvendo o determinante da matriz $ A - \lambda I $ igual a zero, ou seja:
Agora que temos os autovalores e os autovetores, podemos escrever a solução geral da equação diferencial $ \mathbf{X}’ = A \mathbf{X} $. A solução geral é uma combinação linear dos autovetores multiplicados pelas exponenciais dos autovalores vezes $ t $: