Prove que a solução geral de X^prime=(lll0 & 6 & 0 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0) X no intervalo (-infty, infty) é
X=c1(r 6 -1 -5 ) e^-t+c2(c -3 1 1 ) e^-2 t+c3(l 2 1 1 ) e^3 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar a solução geral da equação diferencial vetorial $ \mathbf{X}’ = A \mathbf{X} $, onde $ A $ é uma matriz 3x3 específica. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares com matrizes, e para resolver isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores da matriz $ A $.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz $ A $. Os autovalores $ \lambda $ são encontrados resolvendo o determinante da matriz $ A - \lambda I $ igual a zero, ou seja:
A
Onde $ I $ é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz $ A - \lambda I $:
A - lambda I
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
A - lambda I = 0 - lambda & 6 & 0 1 & 0 - lambda & 1 1 & 1 & 0 - lambda = -lambda & 6 & 0 1 & -lambda & 1 1 & 1 & -lambda
Simplificando:
det(A - lambda I) = -lambda ( (-lambda)(-lambda) - 1 cdot 1 ) - 6 ( 1 cdot (-lambda) - 1 cdot 1 ) + 0 = 0
Resolvendo a equação cúbica $ -\lambda^3 + 7\lambda + 6 = 0 $, encontramos os autovalores $ \lambda_1 = -1 $, $ \lambda_2 = -2 $ e $ \lambda_3 = 3 $.

Passo 4

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada $ \lambda $.
Para $ \lambda_1 = -1 $:
Resolvemos $ (A + I)\mathbf{X} = 0 $:
lambda
Resolvendo, encontramos $ \mathbf{v}_1 = lambda1 = -1 $.
Para $ \lambda_2 = -2 $:
Resolvemos $ (A + 2I)\mathbf{X} = 0 $:
(A + I)X = 0
Resolvendo, encontramos $ \mathbf{v}_2 = 1 & 6 & 0 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 x y z = 0 0 0 $.
Para $ \lambda_3 = 3 $:
Resolvemos $ (A - 3I)\mathbf{X} = 0 $:
v1 = 6 -1 -5
Resolvendo, encontramos $ \mathbf{v}_3 = lambda2 = -2 $.

Passo 5

Agora que temos os autovalores e os autovetores, podemos escrever a solução geral da equação diferencial $ \mathbf{X}’ = A \mathbf{X} $. A solução geral é uma combinação linear dos autovetores multiplicados pelas exponenciais dos autovalores vezes $ t $:
X' = A X
Substituindo os valores que encontramos:
t

Resposta

X(t) = c1 6 -1 -5 e^-t + c2 -3 1 1 e^-2 t + c3 2 1 1 e^3 t

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