Calcule a seguinte integral indefinida utilizando integração por substituição.
integral 2 raiz2-3 x cdot d x

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a integral indefinida integral 2 raiz2-3 x , dx usando integração por substituição. Vamos usar alguns passos básicos de cálculo para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Vamos definir:
u = 2 - 3x
Isso vai ajudar a deixar a integral mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du:
du = -3 , dx Rightarrow dx = -13 , du
Isso vai substituir o dx na integral original.

Passo 4

Substituindo u e dx na integral original:
integral 2 raiz2-3 x , dx = integral 2 raizu (-13) du = -23 integral raizu , du
Agora a integral ficou mais simples de resolver.

Passo 5

Vamos resolver a integral integral raizu , du. Sabemos que:
integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C
Então substituindo de volta:
-23 cdot 23 u^3/2 + C = -49 u^3/2 + C

Passo 6

Agora, vamos voltar a substituir u = 2 - 3x de volta na expressão:
-49 (2 - 3x)^3/2 + C

Resposta

A integral é igual a -49 (2 - 3x)^3/2 + C.

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