Calcule a seguinte integral
\int \ln \left(x^{2}-5 x+6\right) d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral
\int \ln\!\left(x^{2}-5x+6\right)\,dx.
Informações dadas pelo enunciado:
  • A integranda é \ln\!\left(x^{2}-5x+6\right).
  • Não foi dada restrição explícita sobre x, então devemos lembrar que \ln(\cdot) exige argumento positivo; quando espalharmos o log em fatores iremos usar valores absolutos.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: fatorar o polinômio do argumento do log. Calculando as raízes de x^{2}-5x+6:
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
Portanto o integrando pode ser reescrito usando a propriedade do log que diz \ln(ab)=\ln|a|+\ln|b| (aqui aparece o valor absoluto para lidar com sinais):
\ln\!\left(x^{2}-5x+6\right)=\ln|x-2|+\ln|x-3|.

Passo 3

Usando a decomposição do passo anterior, a integral separa em duas:
\int \ln\!\left(x^{2}-5x+6\right)\,dx = \int \ln|x-2|\,dx + \int \ln|x-3|\,dx.
Então basta calcular uma integral do tipo \int \ln|x-a|\,dx e aplicar para a=2 e a=3.

Passo 4

Cálculo da integral básica \int \ln|u|\,du (isso vale para u\neq0). Método: integração por partes.
  • Tome U=\ln|u| e dV=du.
  • Então dU=\dfrac{1}{u}\,du e V=u.
    Pela fórmula de integração por partes \int U\,dV = UV - \int V\,dU, obtemos
\int \ln|u|\,du = u\ln|u| - \int u\cdot\frac{1}{u}\,du = u\ln|u| - \int 1\,du = u\ln|u| - u + C.
Portanto a identidade que usaremos é
\int \ln|x-a|\,dx = (x-a)\ln|x-a| - (x-a) + C.

Passo 5

Aplicando a identidade para a=2:
\int \ln|x-2|\,dx = (x-2)\ln|x-2| - (x-2) + C_{1}.
Para a=3:
\int \ln|x-3|\,dx = (x-3)\ln|x-3| - (x-3) + C_{2}.

Passo 6

Somando as duas integrais (e juntando as constantes C_{1} e C_{2} numa única constante C):
\begin{aligned} \int \ln\!\left(x^{2}-5x+6\right)\,dx &= \bigl[(x-2)\ln|x-2| - (x-2)\bigr] + \bigl[(x-3)\ln|x-3| - (x-3)\bigr] + C \\\ &= (x-2)\ln|x-2| + (x-3)\ln|x-3| - \bigl[(x-2)+(x-3)\bigr] + C \\\ &= (x-2)\ln|x-2| + (x-3)\ln|x-3| - (2x-5) + C. \end{aligned}
Como -5 é apenas constante, pode ser absorvido em C. Assim uma forma mais compacta é
(x-2)\ln|x-2| + (x-3)\ln|x-3| - 2x + C.

Passo 7

Checagem rápida (opcional, mas útil para a prova): derivando a expressão final deve-se recuperar \ln\!\left(x^{2}-5x+6\right). A diferenciação usa a regra do produto e simplifica para dar exatamente o integrando (pode conferir se quiser).

Resposta

(x-2)\ln|x-2| + (x-3)\ln|x-3| - 2x + C

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