Calcule a seguinte integral
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral
Informações dadas pelo enunciado:
- A integranda é
. - Não foi dada restrição explícita sobre
, então devemos lembrar que exige argumento positivo; quando espalharmos o log em fatores iremos usar valores absolutos.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: fatorar o polinômio do argumento do log. Calculando as raízes de
:
Portanto o integrando pode ser reescrito usando a propriedade do log que diz
(aqui aparece o valor absoluto para lidar com sinais):
Passo 3
Usando a decomposição do passo anterior, a integral separa em duas:
Então basta calcular uma integral do tipo
e aplicar para
e
.
Passo 4
Cálculo da integral básica
(isso vale para
). Método: integração por partes.
- Tome
e . - Então
e .
Pela fórmula de integração por partes, obtemos
Portanto a identidade que usaremos é
Passo 5
Aplicando a identidade para
:
Para
:
Passo 6
Somando as duas integrais (e juntando as constantes
e
numa única constante
):
Como
é apenas constante, pode ser absorvido em
. Assim uma forma mais compacta é
Passo 7
Checagem rápida (opcional, mas útil para a prova): derivando a expressão final deve-se recuperar
. A diferenciação usa a regra do produto e simplifica para dar exatamente o integrando (pode conferir se quiser).