*5. Calcule a seguinte integral: \int_{0}^{3} \int_{v^{2}}^{9} y \cos \left(x^{2}\right) d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{3}\int_{v^{2}}^{9} y\cos\!\big(x^{2}\big)\,dx\,dy.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A variável externa é y com 0\le y\le 3.
  • A variável interna (de integração) é x com x variando de v^{2} até 9. Vou interpretar que o símbolo v do enunciado corresponde ao próprio y (provável erro tipográfico), ou seja o limite inferior interno é y^{2}. Portanto trabalho com a integral
\int_{0}^{3}\int_{y^{2}}^{9} y\cos\!\big(x^{2}\big)\,dx\,dy.
  • A função integranda é y\cos\!\big(x^{2}\big).
  • Objetivo: calcular o valor numérico (exato) dessa integral dupla.

Passo 2

Observação sobre a integração direta: se tentássemos integrar primeiro em x (como o integral está escrito), precisaríamos de uma primitiva de \cos\!\big(x^{2}\big) em x. A função \cos(x^{2}) não tem primitiva elementar (aparecem as integrais de Fresnel), então a integração direta em x não é prática. Por isso é natural trocar a ordem de integração — isso costuma simplificar quando a função é fácil de integrar em y mas difícil em x.
Justificativa para trocar a ordem: a função y\cos(x^{2}) é contínua num domínio limitado do plano (região delimitada por 0\le y\le3 e y^{2}\le x\le9), logo podemos aplicar o teorema de Fubini/Tonelli para trocar a ordem de integração sem problema.

Passo 3

Descrevendo a região de integração R no plano (x,y):
  • As desigualdades dadas são 0\le y\le 3 e y^{2}\le x\le 9.
  • A condição y^{2}\le x é equivalente, para y\ge 0, a 0\le y\le \sqrt{x}.
  • Assim, se trocarmos a ordem, x varia do menor valor possível até o maior: x mínimo é quando y=0, logo x_{\min}=0; x máximo é 9. Para um x fixo em [0,9], y varia de 0 até \sqrt{x}.
Portanto as novas cotas são:
0\le x\le 9,\qquad 0\le y\le \sqrt{x}.

Passo 4

Escrevendo a integral com a ordem trocada (integrar primeiro em y):
\int_{0}^{3}\int_{y^{2}}^{9} y\cos\!\big(x^{2}\big)\,dx\,dy = \int_{0}^{9}\int_{0}^{\sqrt{x}} y\cos\!\big(x^{2}\big)\,dy\,dx.

Passo 5

Calcule a integral interna em y. Aqui \cos\!\big(x^{2}\big) é constante respecto a y, então
\int_{0}^{\sqrt{x}} y\cos\!\big(x^{2}\big)\,dy = \cos\!\big(x^{2}\big)\int_{0}^{\sqrt{x}} y\,dy.
A primitiva de y é \tfrac{y^{2}}{2}. Avaliando de 0 a \sqrt{x} obtém-se
\int_{0}^{\sqrt{x}} y\,dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x})^{2}}{2} - 0 = \frac{x}{2}.
Logo a integral interna é
\int_{0}^{\sqrt{x}} y\cos\!\big(x^{2}\big)\,dy = \frac{x}{2}\cos\!\big(x^{2}\big).

Passo 6

Substituindo no integral externo, ficamos com uma integral em uma variável:
\int_{0}^{9} \frac{x}{2}\cos\!\big(x^{2}\big)\,dx.
Para calcular essa integral fazemos a substituição clássica u=x^{2}. Então
u = x^{2}\quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx\quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{du}{2}.
Reescrevendo o integrando:
\frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\,x\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{du}{2} = \frac{du}{4}.
Mudança dos limites: quando x=0 temos u=0; quando x=9 temos u=81. Assim
\int_{0}^{9} \frac{x}{2}\cos\!\big(x^{2}\big)\,dx = \int_{u=0}^{81} \cos(u)\,\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int_{0}^{81}\cos(u)\,du.

Passo 7

A primitiva de \cos(u) é \sin(u). Portanto
\frac{1}{4}\int_{0}^{81}\cos(u)\,du = \frac{1}{4}\left.\sin(u)\right|_{0}^{81} = \frac{1}{4}\big(\sin(81)-\sin(0)\big).
Como \sin(0)=0, o resultado final é
\frac{1}{4}\sin(81).
Observação: os argumentos das funções trigonométricas aqui estão em radianos (padrão em cálculo).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\sin(81)

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