A variável interna (de integração) é x com x variando de v^{2} até 9. Vou interpretar que o símbolo v do enunciado corresponde ao próprio y (provável erro tipográfico), ou seja o limite inferior interno é y^{2}. Portanto trabalho com a integral
Objetivo: calcular o valor numérico (exato) dessa integral dupla.
Passo 2
Observação sobre a integração direta: se tentássemos integrar primeiro em x (como o integral está escrito), precisaríamos de uma primitiva de \cos\!\big(x^{2}\big) em x. A função \cos(x^{2}) não tem primitiva elementar (aparecem as integrais de Fresnel), então a integração direta em x não é prática. Por isso é natural trocar a ordem de integração — isso costuma simplificar quando a função é fácil de integrar em y mas difícil em x.
Justificativa para trocar a ordem: a função y\cos(x^{2}) é contínua num domínio limitado do plano (região delimitada por 0\le y\le3 e y^{2}\le x\le9), logo podemos aplicar o teorema de Fubini/Tonelli para trocar a ordem de integração sem problema.
Passo 3
Descrevendo a região de integração R no plano (x,y):
As desigualdades dadas são 0\le y\le 3 e y^{2}\le x\le 9.
A condição y^{2}\le x é equivalente, para y\ge 0, a 0\le y\le \sqrt{x}.
Assim, se trocarmos a ordem, x varia do menor valor possível até o maior: x mínimo é quando y=0, logo x_{\min}=0; x máximo é 9. Para um x fixo em [0,9], y varia de 0 até \sqrt{x}.
Portanto as novas cotas são:
0\le x\le 9,\qquad 0\le y\le \sqrt{x}.
Passo 4
Escrevendo a integral com a ordem trocada (integrar primeiro em y):