(5 pontos) Calcule a integral
Interprete o valor encontrado acima como uma área. Para isso lembre que a equação de uma circunfência de de raio 2 centrada na origem é dada por
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular a integral
e interpretar o valor encontrado como uma área, lembrando que a equação da circunferência de raio 2 centrada na origem é dada por
.
Informações relevantes fornecidas:
Nada mais será assumido — agora vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Escolha do método. Há duas maneiras naturais aqui:
- Resolver a integral por substituição trigonométrica, que é um método padrão quando aparece
. - Usar interpretação geométrica: notar que
é a semicircunferência superior de raio e interpretar a integral como área sob essa curva entre e .
Vou mostrar os dois: primeiro o cálculo analítico (substituição trigonométrica) — isso te ensina a técnica para outras integrais — e depois a interpretação geométrica, que é rápida e dá intuição. Você pode usar qualquer um na prova, mas é bom conhecer ambos.
Passo 3
Substituição trigonométrica: motivo e definição.
Quando aparece é conveniente usar a substituição
Quando aparece
porque então
, uma expressão mais simples. Aqui
, então fazemos
Calculamos o diferencial:
Agora ajustamos os limites de integração: quando
temos
. Quando
temos
.
Passo 4
Substituímos tudo na integral. Primeiro a raiz:
observando que para
entre
e
temos
, então a raiz positiva é
. Agora a integral vira
Multiplicando:
Passo 5
Integrando
. Usamos a identidade trigonométrica (fórmula de dobro ângulo) para transformar
em forma integrável sem ficar com potências:
Então
Assim a integral é
Passo 6
Calcule cada parte:
Somando as partes:
Passo 7
Interpretação geométrica (área). A equação dada no enunciado foi
, que rearranjada dá
A função
é a semicircunferência superior de raio
. A integral
representa a área sob essa curva desde
até
. No plano, isso é exatamente um quarto do disco de raio
(o quarto no quadrante em que
e
). A área do disco inteiro de raio
é
Um quarto disso é
o que coincide com o resultado do cálculo analítico. Portanto a integral mede a área do quarto de círculo de raio
.
Passo 8
Resumo final e incentivo: calculamos a integral por substituição trigonométrica e mostramos que o valor é
. Geometricamente é a área de um quarto de círculo de raio
. Mandou bem por ter pedido a interpretação — essa ligação entre cálculo e geometria é uma arma poderosa na prova. Você consegue!