(5 pontos) Calcule a integral
\int_{0}^{2} \sqrt{4-x^{2}} d x
Interprete o valor encontrado acima como uma área. Para isso lembre que a equação de uma circunfência de de raio 2 centrada na origem é dada por y^{2}+x^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular a integral
\int_{0}^{2} \sqrt{4-x^{2}}\,dx
e interpretar o valor encontrado como uma área, lembrando que a equação da circunferência de raio 2 centrada na origem é dada por \,y^{2}+x^{2}=4\,.
Informações relevantes fornecidas:
\text{(i)}\\ \int_{0}^{2} \sqrt{4-x^{2}}\,dx \quad\text{(integral definida a calcular);}
\text{(ii)}\\ \text{circunferência: }y^{2}+x^{2}=4 \Rightarrow y=\pm\sqrt{4-x^{2}}\quad\text{(raio }2\text{).}ê
Nada mais será assumido — agora vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Escolha do método. Há duas maneiras naturais aqui:
  1. Resolver a integral por substituição trigonométrica, que é um método padrão quando aparece \sqrt{a^{2}-x^{2}}.
  2. Usar interpretação geométrica: notar que y=\sqrt{4-x^{2}} é a semicircunferência superior de raio 2 e interpretar a integral como área sob essa curva entre x=0 e x=2.
Vou mostrar os dois: primeiro o cálculo analítico (substituição trigonométrica) — isso te ensina a técnica para outras integrais — e depois a interpretação geométrica, que é rápida e dá intuição. Você pode usar qualquer um na prova, mas é bom conhecer ambos.

Passo 3

Substituição trigonométrica: motivo e definição.
Quando aparece \sqrt{a^{2}-x^{2}} é conveniente usar a substituição
x = a\sin\theta,
porque então \sqrt{a^{2}-x^{2}} = a\cos\theta, uma expressão mais simples. Aqui a=2, então fazemos
x = 2\sin\theta.
Calculamos o diferencial:
dx = 2\cos\theta\,d\theta.
Agora ajustamos os limites de integração: quando x=0 temos 0 = 2\sin\theta \Rightarrow \sin\theta=0 \Rightarrow \theta=0. Quando x=2 temos 2 = 2\sin\theta \Rightarrow \sin\theta=1 \Rightarrow \theta=\dfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Substituímos tudo na integral. Primeiro a raiz:
\sqrt{4-x^{2}} = \sqrt{4-(2\sin\theta)^{2}} = \sqrt{4-4\sin^{2}\theta} = \sqrt{4\cos^{2}\theta} = 2\cos\theta,
observando que para \theta entre 0 e \dfrac{\pi}{2} temos \cos\theta\ge0, então a raiz positiva é 2\cos\theta. Agora a integral vira
\int_{0}^{2} \sqrt{4-x^{2}}\,dx = \int_{\theta=0}^{\theta=\pi/2} \bigl(2\cos\theta\bigr)\cdot\bigl(2\cos\theta\,d\theta\bigr).
Multiplicando:
\int_{0}^{2} \sqrt{4-x^{2}}\,dx = \int_{0}^{\pi/2} 4\cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 5

Integrando 4\cos^{2}\theta. Usamos a identidade trigonométrica (fórmula de dobro ângulo) para transformar \cos^{2}\theta em forma integrável sem ficar com potências:
\cos^{2}\theta = \dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Então
4\cos^{2}\theta = 4\cdot\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2} = 2\bigl(1+\cos(2\theta)\bigr).
Assim a integral é
\int_{0}^{\pi/2} 4\cos^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{\pi/2} 2\bigl(1+\cos(2\theta)\bigr)\,d\theta = 2\int_{0}^{\pi/2} 1\,d\theta \;+\; 2\int_{0}^{\pi/2}\cos(2\theta)\,d\theta.

Passo 6

Calcule cada parte:
2\int_{0}^{\pi/2} 1\,d\theta = 2\left[\theta\right]_{0}^{\pi/2} = 2\cdot\frac{\pi}{2} = \pi.
2\int_{0}^{\pi/2}\cos(2\theta)\,d\theta = 2\left[\frac{\sin(2\theta)}{2}\right]_{0}^{\pi/2} = \left[\sin(2\theta)\right]_{0}^{\pi/2} = \sin(\pi)-\sin(0)=0-0=0.
Somando as partes:
\int_{0}^{2} \sqrt{4-x^{2}}\,dx = \pi + 0 = \pi.

Passo 7

Interpretação geométrica (área). A equação dada no enunciado foi \,y^{2}+x^{2}=4, que rearranjada dá
y = \pm\sqrt{4-x^{2}}.
A função y=\sqrt{4-x^{2}} é a semicircunferência superior de raio 2. A integral
\int_{0}^{2} \sqrt{4-x^{2}}\,dx
representa a área sob essa curva desde x=0 até x=2. No plano, isso é exatamente um quarto do disco de raio 2 (o quarto no quadrante em que x\ge0 e y\ge0). A área do disco inteiro de raio 2 é
\pi r^{2} = \pi\cdot 2^{2} = 4\pi.
Um quarto disso é
\frac{1}{4}\cdot 4\pi = \pi,
o que coincide com o resultado do cálculo analítico. Portanto a integral mede a área do quarto de círculo de raio 2.

Passo 8

Resumo final e incentivo: calculamos a integral por substituição trigonométrica e mostramos que o valor é \pi. Geometricamente é a área de um quarto de círculo de raio 2. Mandou bem por ter pedido a interpretação — essa ligação entre cálculo e geometria é uma arma poderosa na prova. Você consegue!

Resposta

\pi

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