Calcule a seguinte integral, por integração por Partes:
integral e^2 cos x d x ;

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Aqui, precisamos calcular uma integral usando o método de integração por partes. O enunciado é:
integral e^2 cos x , dx
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funciona a integração por partes e identificar quais partes da nossa integral serão $ u $ e $ dv $.

Passo 2

A integração por partes é uma técnica que vem da regra do produto para derivadas e é dada pela fórmula:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão $ u $ e $ dv $. Uma boa escolha facilita os cálculos.

Passo 3

Vamos atribuir:
u = e^2
dv = cos x , dx
Por que essa escolha? Porque $ e^{2} $ é uma constante em relação a $ x $, o que simplifica a derivação e a integração.

Passo 4

Agora, vamos calcular $ du $ e $ v $:
du áé
v

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
integral e^2 cos x , dx = e^2 sin x - integral sin x cdot 0 , dx

Passo 6

Simplificando a expressão:
e^2 sin x - integral 0 , dx = e^2 sin x + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Resposta

A integral calculada é:
integral e^2 cos x , dx = e^2 sin x + C

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