Determine o conjunto solução das seguintes desigualdades
|3-x|-|x|

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o conjunto solução da desigualdade com valor absoluto lvert3 - xrvert - lvert xrvert < x + 4. O conteúdo envolvido é resolução de desigualdades com módulos, e vamos precisar usar a definição de lvert yrvert em diferentes regiões e depois combinar resultados.

Passo 2

Identificamos os pontos em que os argumentos dos módulos mudam de sinal: x=0 para lvert xrvert e x=3 para lvert3 - xrvert. Assim, dividimos a reta real em três intervalos: ( -infty,0), [0,3) e [3,infty).

Passo 3

Para x<0: temos lvert xrvert = -x e lvert3 - xrvert = 3 - x. A desigualdade fica
[ (3 - x) - (-x) < x + 4 ]
Resolvendo,
[ 3 - x + x < x + 4 \implies 3 < x + 4 \implies x > -1 ].
Intersecção com x<0 -1 < x < 0.

Passo 4

Para 0 <= x < 3: temos lvert xrvert = x e lvert3 - xrvert = 3 - x. A desigualdade fica
[ (3 - x) - x < x + 4 ]
Resolvendo,
[ 3 - 2x < x + 4 \implies 3 - 4 < 3x \implies -1 < 3x \implies x > -\tfrac{1}{3} ].
Intersecção com [0,3) é todo o intervalo [0,3).

Passo 5

Para x >= 3: temos lvert xrvert = x e lvert3 - xrvert = x - 3. A desigualdade fica
[ (x - 3) - x < x + 4 ]
Resolvendo,
[ -3 < x + 4 \implies x > -7 ].
Intersecção com x >= 3 é todo [3,infty).

Passo 6

Unindo os três pedaços: (-1,0) cup [0,3) cup [3,infty), percebemos que isso equivale a (-1,infty).

Resposta

(-1,infty)

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