Determine o conjunto solução das seguintes desigualdades
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o conjunto solução da desigualdade com valor absoluto
. O conteúdo envolvido é resolução de desigualdades com módulos, e vamos precisar usar a definição de
em diferentes regiões e depois combinar resultados.
Passo 2
Identificamos os pontos em que os argumentos dos módulos mudam de sinal:
para
e
para
. Assim, dividimos a reta real em três intervalos:
,
e
.
Passo 3
Para
: temos
e
. A desigualdade fica
[ (3 - x) - (-x) < x + 4 ]
Resolvendo,
[ 3 - x + x < x + 4 \implies 3 < x + 4 \implies x > -1 ].
Intersecção com dá
.
[ (3 - x) - (-x) < x + 4 ]
Resolvendo,
[ 3 - x + x < x + 4 \implies 3 < x + 4 \implies x > -1 ].
Intersecção com
Passo 4
Para
: temos
e
. A desigualdade fica
[ (3 - x) - x < x + 4 ]
Resolvendo,
[ 3 - 2x < x + 4 \implies 3 - 4 < 3x \implies -1 < 3x \implies x > -\tfrac{1}{3} ].
Intersecção com é todo o intervalo
.
[ (3 - x) - x < x + 4 ]
Resolvendo,
[ 3 - 2x < x + 4 \implies 3 - 4 < 3x \implies -1 < 3x \implies x > -\tfrac{1}{3} ].
Intersecção com
Passo 5
Para
: temos
e
. A desigualdade fica
[ (x - 3) - x < x + 4 ]
Resolvendo,
[ -3 < x + 4 \implies x > -7 ].
Intersecção com é todo
.
[ (x - 3) - x < x + 4 ]
Resolvendo,
[ -3 < x + 4 \implies x > -7 ].
Intersecção com
Passo 6
Unindo os três pedaços:
, percebemos que isso equivale a
.