Usando x operários especializados e y operários não especializados, uma fábrica é capaz de produzir Q(x, y)=10 x^2 y unidades por dia. No momento, a fábrica opera com 20 operários especializados e 40 operários não especializados.
Qual será a variação da produção diária se a fábrica puder contar com mais um operário não especializado?

Passo 1

O enunciado dá a função de produção Q(x,y) = 10 x² y, com x operários especializados e y não especializados. Atualmente temos x = 20 e y = 40, e queremos a variação de produção ao adicionar Δy = 1 operário não especializado. Vamos usar derivadas parciais para estimar essa variação.

Passo 2

A derivada parcial de Q em relação a y mede como a produção muda quando só y varia. Calculamos:
partial Qpartial y = 10 x^2

Passo 3

Agora avaliamos essa derivada no ponto (x,y) = (20,40):
partial Qpartial y|(20,40) = 10 cdot 20^2 = 10 cdot 400 = 4000

Passo 4

Como a variação de y é Δy = 1 (um operário a mais), a variação aproximada da produção é
De
e, neste caso, o cálculo exato Q(20,41) – Q(20,40) também dá 4000 unidades.

Resposta

A produção diária aumenta em 4000 unidades.

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