Resolva o problema de valor inicial
e determine o intervalo no qual a solução existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem a equação diferencial $ y’ = y^2 $ com a condição inicial $ y(0) = 1 $. O conteúdo que vamos precisar aqui envolve resolver equações diferenciais simples usando separação de variáveis. Basicamente, vamos separar os termos que envolvem $ y $ dos que envolvem $ x $ para facilitar a integração e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para separar as variáveis $ y $ e $ x $. A equação é:
Podemos rearranjar isso para:
Aqui, isolamos $ dy $ de um lado e $ dx $ do outro para facilitar a integração.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de $ \frac{1}{y^2} dy $ e a integral de $ dx $ são:
Resolvendo as integrais:
Aqui, $ C $ é a constante de integração que aparece quando integramos.
Passo 4
Vamos resolver para $ y $ isolando-o. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Podemos reescrever isso como:
Para simplificar, podemos chamar $ -C $ de outra constante, digamos $ C’ $. Então:
Passo 5
Agora, vamos usar a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar o valor de $ C’ $. Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 1 $:
Então, nossa solução fica:
Passo 6
Por fim, precisamos determinar o intervalo onde essa solução existe. Observamos que o denominador $ 1 - x $ não pode ser zero, pois isso faria $ y $ ir ao infinito. Então,
Isso significa que a solução existe para todos os $ x $ maiores que $ -\infty $ até $ 1 $, mas não inclui $ x = 1 $.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
e essa solução existe para todo $ x $ no intervalo $ (-\infty, 1) $.