Calcule a seguinte integral iterada integral0^1 d x integralx^raizx sin yy d y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada:
integral0^1 dx integralx^raizx sin yy dy
Aqui, estamos lidando com integrais iteradas, que são basicamente integrar uma função em duas etapas: primeiro em relação a uma variável e depois à outra. Para resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração, o que pode simplificar bastante o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos variando de 0 a 1, e para cada , varia de até . Isso significa que a área que estamos integrando está entre a curva e .
Para facilitar, vamos desenhar essas duas curvas:
  • : uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45 graus.
  • : uma curva que começa na origem e cresce, mas sempre abaixo da linha para .

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de integrar primeiro em relação a integral0^1 dy integraly^2^y sin yy dx e depois em relação a , vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração.
Observando as curvas:
  • Para um dado , varia de até (porque e ).
Então, a nova integral será:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integraly^2^y sin yy dx
Aqui, sin yy cdot (y - y^2) = sin y (1 - y) é constante em relação a , então a integral em é simplesmente:

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
integral0^1 sin y (1 - y) dy
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
integral0^1 sin y , dy - integral0^1 y sin y , dy

Passo 6

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
  1. Primeira integral:
integral sin y , dy = -cos y + C
Avaliação de 0 a 1:
- cos 1 + cos 0 = -cos 1 + 1
  1. Segunda integral:
Para resolver - y cos y + integral cos y , dy = - y cos y + sin y + C , usamos integração por partes.
Escolhemos:
  • -1 cdot cos 1 + sin 1 - (0 + 0) = -cos 1 + sin 1 então
  • então
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Avaliação de 0 a 1:

Passo 7

Agora, juntamos os resultados:
(-cos 1 + 1) - (-cos 1 + sin 1) = -cos 1 + 1 + cos 1 - sin 1 = 1 - sin 1

Resposta

A integral iterada vale .

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