Calcule a seguinte integral iterada
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral iterada:
Aqui, estamos lidando com integrais iteradas, que são basicamente integrar uma função em duas etapas: primeiro em relação a uma variável e depois à outra. Para resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração, o que pode simplificar bastante o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos
variando de 0 a 1, e para cada
,
varia de
até
. Isso significa que a área que estamos integrando está entre a curva
e
.
Para facilitar, vamos desenhar essas duas curvas:
-
: uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45 graus. -
: uma curva que começa na origem e cresce, mas sempre abaixo da linha para .
Passo 3
Agora, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
, vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração.
Observando as curvas:
- Para um dado
, varia de até (porque e ).
Então, a nova integral será:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Aqui,
é constante em relação a
, então a integral em
é simplesmente:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
Passo 6
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
- Primeira integral:
Avaliação de 0 a 1:
- Segunda integral:
Para resolver
, usamos integração por partes.
Escolhemos:
-
então -
então
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Avaliação de 0 a 1:
Passo 7
Agora, juntamos os resultados:
Resposta
A integral iterada vale
.