É convergente ou divergente? Justifique.
sumn=1^infty raiz[3]n+2raiz[4]n^3+3 raiz[5]n^3+5

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita:
sumn=1^infty raiz[3]n+2raiz[4]n^3+3 raiz[5]n^3+5
E precisamos descobrir se essa série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Comparação Limitada. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para entender como os termos se comportam quando $ n $ fica muito grande (ou seja, tende ao infinito). Observamos que:
  • $ n + 2 $ é aproximadamente igual a $ n $ quando $ n $ é grande.
  • $ n^{3} + 3 $ e $ n^{3} + 5 $ também são aproximadamente iguais a $ n^{3} $ para valores grandes de $ n $.
Então, podemos simplificar a expressão da série assim:
n

Passo 3

Agora, vamos reescrever as raízes em termos de potências fracionárias para facilitar os cálculos:
n^1/3n^3/4 cdot n^3/5
Lembrando que $ \sqrt[k]{n^{m}} = n^{m/k} $.

Passo 4

Vamos combinar os termos no denominador:
n^3/4 cdot n^3/5 = n^3/4 + 3/5
Para somar os expoentes, precisamos de um denominador comum:
34 + 35 = 1520 + 1220 = 2720
Então, a expressão fica:
n^1/3n^27/20

Passo 5

Agora, subtraímos os expoentes ao dividir potências de mesma base:
n^1/3 - 27/20 = n^2060 - 8160 = n^-6160
Isso significa que o termo geral da série se comporta aproximadamente como:
1n^61/60

Passo 6

Sabemos que a série p:
sumn=1^infty 1n^p
converge se $ p > 1 $ e diverge se $ p \leq 1 $.
No nosso caso, $ p = \frac{61}{60} $, que é maior que 1. Isso indica que nossa série comparada converge.

Passo 7

Para confirmar, usamos o Teste da Comparação Limitada. Calculamos o limite da razão entre o termo da nossa série e o termo da série p:
limn to infty raiz[3]n+2raiz[4]n^3+3 raiz[5]n^3+51n^61/60 = limn to infty n^61/60 cdot n^1/3n^27/20 = limn to infty n^(-61/60 + 1/3) = limn to infty n^-6160 + 2060 = limn to infty n^-41/60 = 0
Como o limite é finito e a série p converge, nossa série também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty raiz[3]n+2raiz[4]n^3+3 raiz[5]n^3+5 converge.

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