É convergente ou divergente? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita:
E precisamos descobrir se essa série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Comparação Limitada. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para entender como os termos se comportam quando $ n $ fica muito grande (ou seja, tende ao infinito). Observamos que:
- $ n + 2 $ é aproximadamente igual a $ n $ quando $ n $ é grande.
- $ n^{3} + 3 $ e $ n^{3} + 5 $ também são aproximadamente iguais a $ n^{3} $ para valores grandes de $ n $.
Então, podemos simplificar a expressão da série assim:
Passo 3
Agora, vamos reescrever as raízes em termos de potências fracionárias para facilitar os cálculos:
Lembrando que $ \sqrt[k]{n^{m}} = n^{m/k} $.
Passo 4
Vamos combinar os termos no denominador:
Para somar os expoentes, precisamos de um denominador comum:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, subtraímos os expoentes ao dividir potências de mesma base:
Isso significa que o termo geral da série se comporta aproximadamente como:
Passo 6
Sabemos que a série p:
converge se $ p > 1 $ e diverge se $ p \leq 1 $.
No nosso caso, $ p = \frac{61}{60} $, que é maior que 1. Isso indica que nossa série comparada converge.
Passo 7
Para confirmar, usamos o Teste da Comparação Limitada. Calculamos o limite da razão entre o termo da nossa série e o termo da série p:
Como o limite é finito e a série p converge, nossa série também converge.
Resposta
A série
converge.