Considere a o último dígito do seu RA. Por exemplo, se RA=123456789, então a=9.
Para cada função abaixo, calcule a sua derivada e responda a pergunta associada.
f(x)=a+1x^2+ln (a+2)cos ^2[(a+2) x]. Qual o valor de f^prime(2)?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente tem uma função $ f(x) = \frac{a+1}{x^{2}} + \frac{\ln(a+2)}{\cos^{2}[(a+2)x]} $ e precisamos encontrar a derivada dessa função no ponto $ x = 2 $, ou seja, $ f’(2) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especialmente as regras de derivação para funções racionais, logarítmicas e trigonométricas, além da regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função $ f(x) $. A função é a soma de dois termos, então a derivada de $ f(x) $ será a soma das derivadas de cada termo separadamente.
Vamos derivar o primeiro termo:
f(x)
Podemos reescrever isso como $ f_1(x) = (a+1) \cdot x^{-2} $. Usando a regra do poder, a derivada de $ x^{-2} $ é $ -2x^{-3} $. Então:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos derivar o segundo termo:
f2(x) = ln(a+2)cos^2[(a+2)x]
Podemos reescrever isso como $ f_2(x) = \ln(a+2) \cdot \cos^{-2}[(a+2)x] $.
Para derivar $ \cos^{-2}[(a+2)x] $, vamos usar a regra da cadeia. Primeiro, a derivada de $ \cos^{-2}(u) $ em relação a $ u $ é:
f2(x) = ln(a+2) cdot cos^-2[(a+2)x]
Aqui, $ u = (a+2)x $, então $ \frac{du}{dx} = a+2 $.
Aplicando a regra da cadeia:
cos^-2[(a+2)x]
Simplificando:
cos^-2(u)

Passo 4

Agora, juntamos as derivadas dos dois termos para obter a derivada completa da função $ f(x) $:
f(x)
Substituindo os valores que encontramos:
f'(x) = f1'(x) + f2'(x)

Passo 5

Finalmente, vamos substituir $ x = 2 $ na derivada para encontrar $ f’(2) $:
x = 2
Simplificando o primeiro termo:
f'(2)
Então, a expressão final para $ f’(2) $ é:
f'(2) = -2(a+1)2^3 + 2(a+2)ln(a+2)sin[2(a+2)]cos^3[2(a+2)]

Resposta

O valor de $ f’(2) $ é:
f'(2)

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