Calcule a seguinte integral iterada
integral0^2 integralx^2^4 x cos y^2 d y d x
Esboce o gráfico da região de integração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla:
integral0^2 integralx^2^4 x cos y^2 , dy , dx
Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais iteradas e troca de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a ordem das integrações e usar substituição para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos x indo de 0 a 2 e, para cada x, y vai de x^2 até 4. Isso forma uma área entre a parábola y = x^2 e a reta y = 4, de x = 0 até x = 2.

Passo 3

Agora, para simplificar a integral, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de integrar primeiro em relação a y e depois em x, vamos integrar primeiro em relação a x e depois em y.
Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração:
  • y varia de 0 a 4.
  • Para cada y, x vai de 0 até raizy (já que y = x^2 Rightarrow x = raizy).
Então, a integral passa a ser:
integral0^4 integral0^raizy x cos y^2 , dx , dy

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a x:
integral0^raizy x cos y^2 , dx
Aqui, cos y^2 é tratado como uma constante em relação a x, pois depende apenas de y. Então, a integral fica:
cos y^2 integral0^raizy x , dx

Passo 5

Calculando a integral de x em relação a x:
integral x , dx = 12 x^2
Aplicando os limites de 0 a raizy:
12 (raizy)^2 - 12 (0)^2 = 12 y
Então, a integral interna fica:
cos y^2 cdot 12 y = 12 y cos y^2

Passo 6

Agora, substituímos isso na integral externa:
integral0^4 12 y cos y^2 , dy
Podemos tirar o 12 para fora:
12 integral0^4 y cos y^2 , dy

Passo 7

Para resolver essa integral, usamos substituição. Vamos deixar u = y^2, então du = 2y , dy, ou seja, y , dy = du2.
Substituindo na integral:
12 integralu=0^u=16 cos u cdot du2 = 14 integral0^16 cos u , du

Passo 8

A integral de cos u em relação a u é sin u. Então:
14 [sin u]0^16 = 14 (sin 16 - sin 0)
Como sin 0 = 0, fica:
14 sin 16

Resposta

O valor da integral é 14 sin 16.

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