Calcule a seguinte integral iterada
Esboce o gráfico da região de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla:
Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais iteradas e troca de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a ordem das integrações e usar substituição para facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos
indo de 0 a 2 e, para cada
,
vai de
até 4. Isso forma uma área entre a parábola
e a reta
, de
até
.
Passo 3
Agora, para simplificar a integral, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de integrar primeiro em relação a
e depois em
, vamos integrar primeiro em relação a
e depois em
.
Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração:
-
varia de 0 a 4. - Para cada
, vai de 0 até (já que ).
Então, a integral passa a ser:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Aqui,
é tratado como uma constante em relação a
, pois depende apenas de
. Então, a integral fica:
Passo 5
Calculando a integral de
em relação a
:
Aplicando os limites de 0 a
:
Então, a integral interna fica:
Passo 6
Agora, substituímos isso na integral externa:
Podemos tirar o
para fora:
Passo 7
Para resolver essa integral, usamos substituição. Vamos deixar
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Passo 8
A integral de
em relação a
é
. Então:
Como
, fica:
Resposta
O valor da integral é
.