Estude as convergências das sequências
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar a convergência da sequência $ a_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 ··· (2n-1)}{n! \cdot 2^{n}} $. Isso está no campo das sequências e séries, especificamente analisando se a sequência chega a um valor específico conforme $ n $ cresce. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão e aplicar algumas fórmulas de aproximação de fatorial.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador $ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ··· \cdot (2n-1) $. Sabemos que esse produto dos números ímpares até $ 2n-1 $ pode ser expresso usando o fatorial:
Assim, nossa sequência fica:
Passo 3
Agora, para entender o comportamento de $ a_n $ conforme $ n $ cresce, vamos usar a fórmula de Stirling que aproxima o fatorial de um número grande. A fórmula de Stirling diz que:
Vamos aplicar isso para $ (2n)! $ e $ (n!)^2 $:
Passo 4
Substituindo as aproximações na expressão de $ a_n $:
Vamos simplificar isso passo a passo:
- $ (2n)^{2n} / n^{2n} = 2^{2n} $
- $ e^{-2n} $ no numerador e denominador se cancelam.
- $ \sqrt{4\pi n} / (2\pi n) = \frac{2\sqrt{\pi n}}{2\pi n} = \frac{1}{\sqrt{\pi n}} $
Então, temos:
Passo 5
Agora, olhando para $ a_n \approx \frac{1}{\sqrt{\pi n}} $, é claro que conforme $ n $ cresce, o denominador $ \sqrt{\pi n} $ também cresce, fazendo com que o valor de $ a_n $ diminua e se aproxime de zero.
Resposta
A sequência $ \left(a_{n}\right) $ converge para zero conforme $ n $ tende ao infinito.